.06 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

В силу того, что общий член ряда можно, домножив и числитель и знаменатель на , переписать в виде

То и наш ряд

распадается в сумму двух рядов

И ряд будет сходится по признаку Лейбница, потому что он имеет вид

и видим, что (числитель равен 1, а знаменатель стремится к бесконечности), да притом будет монотонно убывать. Докажем это.

Рассмотрим функцию , тогда Анализируя знаки производной видим, что при и поэтому функция , а, значит, и последовательность монотонно убывает.

Таким образом, действительно сходится по признаку Лейбница.

А вот будет расходиться, потому что он фактически устроен как гармонический ряд.

Получается, что наш исследуемый ряд распадается в сумму сходящегося и расходящегося ряда, а, значит, расходится (это доказывается аналогично тому, что сумма сходящейся и расходящейся последовательности расходится).