Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Тема Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119819

Про действительные числа $a,b,c,d$ известно, что

ab =cd= 2025, a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение $a +b+ c+d?$

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем сделать какое-то преобразование, чтобы объединить все данные из условия. С помощью чего мы можем связать сумму и произведение чисел?

Подсказка 2

Верно, с помощью возведения в квадрат! Кстати, что нам известно про числа a-b и d-c?

Подсказка 3

Да, они равны! А значит, равны и их квадраты! Попробуйте из этого равенства вывести равенство квадратов a+b и c+d.

Показать ответ и решение

Поскольку $a+ c=b+ d,$ то $a− b= d− c.$ Отсюда

2 2 (a − b) = (d− c)

2 2 2 2 a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как $ab= cd,$ добавим к обеим частям равенства $4ab:$

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию $a+ b⁄= c+d,$ поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0

Ответ:

Только $0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127168

Найдите значения числового выражения, выполнив соответствующие преобразования: $(2− 1)(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)− 216.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $(a− b)(a +b)= a2 − b2:$

2 4 8 16 2 2 4 8 16 (2− 1)(2+ 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 =

4 4 8 16 8 8 16 16 16 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)− 2 =(2 − 1)(2 +1)− 2 = 2 − 1 − 2 = −1

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127169

Известно, что $x⁄= y,x2− 2019x= y2− 2019y.$ Чему может быть равно $x+ y?$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 2 x − 2019x= y − 2019y

2 2 x − y = 2019x − 2019y

(x− y)(x+ y)=2019(x − y)

Так как $x⁄= y,$ $x− y ⁄= 0.$ Поделим уравнение на $x − y,$ получим $x+ y = 2019.$

Ответ:

$2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127172

Простым или составным является число $200002− 39999?$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 20000 − 39999= 20000 − 2⋅20000+ 1= (20000− 1) = 19000

Ответ:

Составным

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127173

Решите уравнение

2 2 2 x y + 17 +x − 8xy+2x =0.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты

2 2 2 xy + 17+x − 8xy+ 2x= 0

2 2 2 2 (xy) − 2⋅xy⋅4+ 4 +x +2⋅x⋅1+ 1 = 0

(xy − 4)2+(x+ 1)2 =0

Так как квадраты неотрицательны, то выражение равно 0, тогда и только, когда каждое из слагаемых равно 0, то есть

{ (xy− 4)2 = 0 (x+ 1)2 = 0

{ x = −1 y =− 4

Ответ:

$(−1;−4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#127174

Два различных числа таковы, что квадрат разности их кубов равен кубу разности их квадратов. Докажите, что одно из чисел равно $0.$

Показать доказательство

Пусть даны различные числа $a$ и $b$ :

3 3 2 2 23 (a − b ) = (a − b)

2 2 2 3 ((a− b)(a +ab+ b )) − ((a− b)(a+b)) =0

(a− b)2((a2+ ab+ b2)2− (a− b)(a +b)3)= 0

Поделим уравнение на $(a− b)2 ⁄= 0$ :

(a2+ ab+b2)2 − (a− b)(a+b)3 = 0

a4+3a2b2+b4+ 2a3b+ 2ab3− (a2− b2)(a2+ 2ab+ b2)=0

3a2b2 +2b4+ 4ab3 = 0

2 2 2 b (3a + 4ab+ 2b)= 0

2 2 2 b(a +2(a+ b) )= 0

[ b2 = 0 a2+ 2(a +b)2 = 0

По условию $a$ и $b$ различны, так что $a2+ 2(a +b)2 ⁄= 0.$ Получаем $b= 0.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127178

Пусть $a$ и $b$ — целые числа. Докажите, что если $a2+ 9ab+b2$ делится на $11,$ то и $a2− b2$ делится на $11.$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 2 a + 9ab+ b = a − 2ab+ b+ 11ab =(a− b) + 11ab

По условию

2 (a− b) + 11ab

кратно 11, кроме того и $11ab$ тоже кратно 11. Значит, $(a− b)2$ тоже обязано быть кратно 11. Так как 11 — это простое число, то это означает, что $a− b$ кратно 11.

Теперь распишем $a2− b2$ как разность квадратов и получим $(a− b)(a+ b)$ , а, так как ранее определили, что множитель $a− b$ кратен 11, то и все произведение тоже будет делиться на 11.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127827

Увеличится или уменьшится сумма $1-+ -1-+...+ 1-+ -1, 100 101 199 200$ если все слагаемые в ней заменить на $-1-? 150$

Показать ответ и решение

В исходной сумме все числа, кроме $-1-, 150$ разобьём на пары вида

(---1-- --1--) 150− k;150 +k , где 1 ≤k ≤50

Оценим сумму в каждой такой паре

--1--+ --1---= -----300------= --3200-2 ≥-3002 =-1-+ -1- 150− k 150+ k (150 − k)(150+ k) 150 − k 150 150 150

Значит, исходную сумму мы можем оценить, сложив все оценки для таких пар и добавив $1150,$ то есть

( ) ( ) -1-+ -1-+ ...+ 1--= -1-+ -1-+ 1-- +...+ -1-+ 1-- ≥ 100 101 200 150 100 200 149 151

1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ≥ 150 + 150 + 150 + ...+ 150 + 150

Следовательно, при замене всех чисел на $1150$ сумма чисел уменьшиться.

Ответ:

Уменьшится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77403

Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала переведём задачу на математический язык. Как это будет выглядеть? Не забывайте, что условия должны выполняться одновременно.

Подсказка 2

Верно, запишем это как систему x² - y²=6 и (x - 2)² - (y-2)² = 18. Давайте теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Нет ли у нас похожих слагаемых у двух уравнений? Что можно естественным образом сделать?

Подсказка 3

Да, видим, что и там, и там есть x²-y². Значит, мы можем заменить во втором уравнение это выражение на 6 и преобразовать. Получим, что x-y = -3. А нам нужна сумма. Не можем ли мы теперь из первого уравнения всё найти?

Подсказка 4

Верно, первое уравнение можно разложить на скобки по формуле. Одну из скобок мы знаем и отсюда легко находим искомую сумму. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть наши числа — $x$ и $y.$ Из условия следует система:

{ x2− y2 = 6 (x− 2)2 − (y− 2)2 = 18

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

2 2 x − 4x +4− (y − 4y+ 4)= 18

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

x2− 4x+4 − (y2− 4y +4)= x2− 4x +4− y2+ 4y − 4= x2− y2− 4x +4y

Из первого уравнения системы $x2− y2 = 6.$ Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

6− 4x+ 4y = 18

Перенесем $6$ в правую часть и разделим равенство на $− 4$ :

x − y =− 3

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

(x− y)(x+ y)= 6

Теперь, подставим в это равенство $x− y = −3,$ тогда получаем:

− 3(x+ y)= 6

Разделив уравнение на $− 3,$ получаем нужное значение суммы $x+ y = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#78953

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Пусть наши числа равны $a,a ,...,a . 1 2 2020$ Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть $a − a. 1 2$ Тогда почти все квадраты сократятся, кроме $2 a1$ и $2 a2.$ И того получим после разложения на скобки $(a1− a2)(a1+ a2)= 0,$ но числа у нас положительные, поэтому $a1 = a2.$ Аналогично проводя преобразования получим, что все $ai$ равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Ответ:

Все числа равны $--1 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#78955

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят $50,$ а остальные больше $50,$ но не превосходят $100.$ При этом никакие два из них не отличаются ровно на $50.$ Найдите сумму этих чисел.

Показать ответ и решение

Вычтем $50$ из каждого числа, которое больше $50.$ Получатся $50$ разных чисел, то есть числа от $1$ до $50.$ Их сумма равна $1+ 2+ ...+ 50=25⋅51,$ а сумма исходных чисел — $25 ⋅51+ 25⋅50=25⋅101.$

Ответ:

$2525$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80764

Из множества $M,$ состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$ , если $2 2 p − q = 792.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.

Подсказка 2

Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — наименьшее натуральное число из $M.$ Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех $7$ чисел равна

6⋅7 7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+ 2 =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

. 6a+21 не подходит, так как.. 3 .. 6a+20 не подходит, так как. 2 6a+19 нет противоречий 6a+18 не подходит, так как ... 3 6a+17 нет противоречий .. 6a+16 не подходит, так как. 2 6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, $p= 6a+ 19, q =6a+ 17.$ По условию задачи $p2 − q2 = 792$ или то же самое, что и

2 2 (6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒ 2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396 =⇒ a+3 =33 =⇒ a= 30

Следовательно, $M$ может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: $6a +19= 199$ — простое, $6a+ 17= 197$ — простое.

Ответ:

${30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90236

Известно, что число $a+ 1 a$ — целое. Докажите, что число $a2+ 1- a2$ — тоже целое.

Показать доказательство

Так как $a+ 1 a$ — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, $(a + 1)2 = a2+ 2+ 1 a a2$ — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#92257

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#58026

Даны два числа (не обязательно целые), не равные $0.$ Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем наше условие в виде уравнений. Получится (a+1)(b+1)=2ab. Если записать то, что мы хотим найти, то получится (a^2-1)(b^2-1). Как теперь это преобразовать?

Подсказка 2

Да, можно разложить в разность квадратов и получить (a-1)(b-1)(a+1)(b+1). Отлично, произведение последних двух скобок известно, осталось как-то найти произведение первых двух скобок....

Подсказка 3

Раскройте скобки в изначальном условии и попробуйте его привести к равенству со скобками (a-1)(b-1)

Показать ответ и решение

Обозначим данные числа через $a$ и $b.$ По условию

(a+ 1)(b+ 1)= ab+ a+ b+ 1= 2ab

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

ab− a− b− 1= 0

Тогда

(a− 1)(b− 1)= ab− a− b+ 1= (ab − a − b − 1)+ 2= 0 +2 = 2 ( 2 )(2 ) a − 1 b− 1 = (a− 1)(b− 1)(a + 1)(b+ 1)= 2⋅2ab= 4ab

Ответ:

в $4$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68640

Простые числа $p,q$ и $r$ таковы, что

2 2 2 p< q,p +q =r,p +q = r − 116

Найдите $p,q$ и $r.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть условие на сумму p+q, есть условие на сумму их квадратов, что хочется сразу сделать?

Подсказка 2

Возвести в квадрат p+q! Тогда будет нетрудно выразить 2pq, получившиеся в квадрате суммы. Каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 3

Простотой p и q! 2pq = 116 = 4 * 29. Остается лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в квадрат:

2 2 2 p +2pq+ q = r

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

2 2pq =116= 2 ⋅29

Значит, учитывая, что $p< q,$ получаем:

p= 2,q = 29⇒ r= p+ q = 31

Ответ:

$p =2,q = 29,r= 31$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#89774

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90319

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#97661

Уравнение $x4− 7x− 3= 0$ имеет ровно два действительных корня $a$ и $b,$ $a> b.$ Найдите значение выражения $a4−b4. a−b$

Показать ответ и решение

Так как число $a$ и $b$ является корнем уравнения $x4− 7x − 3 =0,$ то $a4− 7a− 3=0$ и $b4− 7b− 3 =0.$ Рассмотрим разность двух получившихся выражений:

(4 ) ( 4 ) a − 7a− 3 − b − 7b− 3 = 0

4 4 a − b− 7a+ 7b =0

a4− b4 = 7(a− b)

a4−-b4= 7 a− b

Мы смогли поделить обе части уравнения на $a− b,$ так как по условию числа $a$ и $b$ различны.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#30977

Два различных числа $x$ и $y$ (не обязательно целых) таковы, что

2 2 x − 2000x= y − 2000y

Найдите сумму чисел $x$ и $y.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть квадрат х слева и квадрат у справа. Давайте поэтому перенесем квадраты в одну сторону, а 2000х и 2000у - в другую.

Подсказка 2

Тогда давайте разложим на множители обе части выражений, а затем вспомним, что х и у это различные числа и используем это.

Показать ответ и решение

В данном выражении квадраты $x2$ и $y2$ изначально находятся с разных сторон от равенства. Давайте перенесём их в одну часть и разложим по формуле разности квадратов, а остальное выражение соберём в правой части:

2 2 x − y = 2000x − 2000y

(x− y)(x+ y)=2000(x − y)

В последнем выражении мы получили разность $x− y$ как множитель с обеих сторон равенства. Сократим на этот общий множитель: он не равен 0 из условия, что числа $x$ и $y$ различны. Получим $x+ y = 2000,$ а именно эту сумму нас и просили найти.

Ответ:

$2000$