Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Тема Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119819Максимум баллов за задание: 7

Про действительные числа $a,b,c,d$ известно, что

ab =cd= 2025, a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение $a +b+ c+d?$

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем сделать какое-то преобразование, чтобы объединить все данные из условия. С помощью чего мы можем связать сумму и произведение чисел?

Подсказка 2

Верно, с помощью возведения в квадрат! Кстати, что нам известно про числа a-b и d-c?

Подсказка 3

Да, они равны! А значит, равны и их квадраты! Попробуйте из этого равенства вывести равенство квадратов a+b и c+d.

Показать ответ и решение

Поскольку $a+ c=b+ d,$ то $a− b= d− c.$ Отсюда

2 2 (a − b) = (d− c)

2 2 2 2 a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как $ab= cd,$ добавим к обеим частям равенства $4ab:$

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию $a+ b⁄= c+d,$ поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0

Ответ:

Только $0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127168Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения числового выражения, выполнив соответствующие преобразования: $(2− 1)(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)− 216.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $(a− b)(a +b)= a2 − b2:$

2 4 8 16 2 2 4 8 16 (2− 1)(2+ 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 =

4 4 8 16 8 8 16 16 16 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)− 2 =(2 − 1)(2 +1)− 2 = 2 − 1 − 2 = −1

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127169Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x⁄= y,x2− 2019x= y2− 2019y.$ Чему может быть равно $x+ y?$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

2 2 x − 2019x= y − 2019y

2 2 x − y = 2019x − 2019y

(x− y)(x+ y)=2019(x − y)

Так как $x⁄= y,$ $x− y ⁄= 0.$ Поделим уравнение на $x − y,$ получим $x+ y = 2019.$

Ответ:

$2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127172Максимум баллов за задание: 7

Простым или составным является число $200002− 39999?$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 20000 − 39999= 20000 − 2⋅20000+ 1= (20000− 1) = 19000

Ответ:

Составным

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127173Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 2 x y + 17 +x − 8xy+2x =0.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты

2 2 2 xy + 17+x − 8xy+ 2x= 0

2 2 2 2 (xy) − 2⋅xy⋅4+ 4 +x +2⋅x⋅1+ 1 = 0

(xy − 4)2+(x+ 1)2 =0

Так как квадраты неотрицательны, то выражение равно 0, тогда и только, когда каждое из слагаемых равно 0, то есть

{ (xy− 4)2 = 0 (x+ 1)2 = 0

{ x = −1 y =− 4

Ответ:

$(−1;−4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#127174Максимум баллов за задание: 7

Два различных числа таковы, что квадрат разности их кубов равен кубу разности их квадратов. Докажите, что одно из чисел равно $0.$

Показать доказательство

Пусть даны различные числа $a$ и $b$ :

3 3 2 2 23 (a − b ) = (a − b)

2 2 2 3 ((a− b)(a +ab+ b )) − ((a− b)(a+b)) =0

(a− b)2((a2+ ab+ b2)2− (a− b)(a +b)3)= 0

Поделим уравнение на $(a− b)2 ⁄= 0$ :

(a2+ ab+b2)2 − (a− b)(a+b)3 = 0

a4+3a2b2+b4+ 2a3b+ 2ab3− (a2− b2)(a2+ 2ab+ b2)=0

3a2b2 +2b4+ 4ab3 = 0

2 2 2 b (3a + 4ab+ 2b)= 0

2 2 2 b(a +2(a+ b) )= 0

[ b2 = 0 a2+ 2(a +b)2 = 0

По условию $a$ и $b$ различны, так что $a2+ 2(a +b)2 ⁄= 0.$ Получаем $b= 0.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127178Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a$ и $b$ — целые числа. Докажите, что если $a2+ 9ab+b2$ делится на $11,$ то и $a2− b2$ делится на $11.$

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

2 2 2 2 2 a + 9ab+ b = a − 2ab+ b+ 11ab =(a− b) + 11ab

По условию

2 (a− b) + 11ab

кратно 11, кроме того и $11ab$ тоже кратно 11. Значит, $(a− b)2$ тоже обязано быть кратно 11. Так как 11 — это простое число, то это означает, что $a− b$ кратно 11.

Теперь распишем $a2− b2$ как разность квадратов и получим $(a− b)(a+ b)$ , а, так как ранее определили, что множитель $a− b$ кратен 11, то и все произведение тоже будет делиться на 11.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127827Максимум баллов за задание: 7

Увеличится или уменьшится сумма $1-+ -1-+...+ 1-+ -1, 100 101 199 200$ если все слагаемые в ней заменить на $-1-? 150$

Показать ответ и решение

В исходной сумме все числа, кроме $-1-, 150$ разобьём на пары вида

(---1-- --1--) 150− k;150 +k , где 1 ≤k ≤50

Оценим сумму в каждой такой паре

---1--+ --1---= -----300------= --3200-2 >-3002 =-1-+ -1- 150− k 150+ k (150 − k)(150+ k) 150 − k 150 150 150

Значит, исходную сумму мы можем оценить, сложив все оценки для таких пар и добавив $1150,$ то есть

( ) ( ) -1-+ -1-+ ...+ 1--= 1--+ -1-+ 1-- +...+ -1-+ 1-- > 100 101 200 150 100 200 149 151

1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) > 150 + 150 + 150 + ...+ 150 + 150

Следовательно, при замене всех чисел на $1150$ сумма чисел уменьшиться.

Ответ:

Уменьшится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128549Максимум баллов за задание: 7

Верно ли, что выражение

2025 x − 2025x+ 2024

делится на $(x− 1)2$ при любом натуральном $x >1?$

Источники: Надежда энергетики - 2025, 10.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать что это выражение один раз делится на (x - 1) в целом нетрудно — обычная подстановка решает этот вопрос, но что делать с квадратом? Неужели придётся раскладывать эту штуку на множители?

Подсказка 2

Вспомните, как можно разложить на множители разность n-ных степеней? Удастся ли наше выражение сгруппировать так, чтобы в одной из скобок оказалась та самая разность?

Подсказка 3

Если воспользоваться тем, что 1 в любой степени равна 1, а также прибавить и вычесть единичку из нашего выражения, то всё удачно сгруппируется!

Подсказка 4

Осталось воспользоваться тем, что (х^k - 1) делится на (x - 1) при любом натуральном k и задача убита!

Показать ответ и решение

Вспомним формулу разности $n− ны х$ степеней:

n n n−1 n−2 n−2 n−1 a − b = (a − b)(a + a b+ ...+ab + b )

Преобразуем исходное выражение с помощью группировки и применения этой формулы:

2025 2025 x − 2025x+2024= x − 1− 2025(x − 1)=

= (x− 1)(x2024+x2023 +...+x +1)− 2025(x− 1)=

= (x− 1)(x2024− 1+x2023− 1+ ...+x− 1)

Один множитель вида $(x − 1)$ явно выделен. Осталось подметить, что каждая из разностей вида $xk− 1$ делится на $(x− 1)$ при любом натуральном значении $k$ .

Ответ:

Да, верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#128562Максимум баллов за задание: 7

Упростить выражение

27(1 − a27) 9(1− a9) 3(1− a3) 1 − a 1 a27(1+a27+-a54) + a36(1-+a9+-a18) + a39(1+a3+-a6) + a40(1+-a+-a2) − a40(1−-a)

и найти его значение при $√ --- a= 108100.$

Источники: Газпром - 2025, 10.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, мы видим большое и страшное выражение, которое явно придётся считать. Но будет ли разумным в такой ситуации выполнять все действия в том порядке, в каком они записаны? Может быть, тут всё же можно заметить какую-нибудь красоту?

Подсказка 2

Начнём с последних двух слагаемых: у них одинаковая степень а в знаменателе, а оставшиеся множители вместе превращаются в ФСУ, поэтому именно с этой парочкой работать не так уж сложно! Что же получилось теперь?

Подсказка 3

После сокращения полученной дроби, мы можем заметить, что пара слагаемых, ставших последними после преобразования, снова образует ФСУ в общем знаменателе!

Подсказка 4

Повторив такую операцию ещё пару раз, останется лишь аккуратно посчитать числа, воспользовавшись свойствами степеней!

Показать ответ и решение

Преобразуем разность двух последних дробей, приведя к общему знаменателю:

----1−-a--- ---1---- ---3----- a40(1+ a+ a2) − a40(1− a) = − a39(1− a3)

Затем добавим к ней третью дробь и приведём к общему знаменателю:

3 -393(1-− a3-)-6 − 39-3-3-= −-36-9--9- a (1 +a + a) a (1− a ) a (1 − a )

Аналогично добавим вторую дробь:

---9(1−-a9)---− ---9----= −----27--- a36(1+a9 +a18) a36(1− a9) a27(1 − a27)

Аналогично добавим первую дробь:

27(1− a27) 27 81 a27(1+-a27+-a54)-−a27(1-− a27) =− 1−-a54

Подставим $√--- a= 108100:$

− ---18108√---54-= −--81--= 9 1− 100 1− 10

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130318Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $f(x)=√x-+ 15. x$ Найдите наименьшее целое число, превосходящее $f(25). 16$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка

Давайте попробуем вычислить значение функции в интересующей нас точке. Какое наименьшее целое число будет больше полученного значения?

Показать ответ и решение

Подставим $x= 25: 16$

( 25) ∘ 25- 15 5 48 f 16 = 16 + (25)-= 4 +-5 = 10,85 16

Таким образом, наименьшее целое число, превосходящее $f(2156)$ — это число $11.$

Ответ: 11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#132896Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x:y =9 :7.$ Найдите $x-+y. x − y$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразим x через y и подставим в выражение, значение которого необходимо найти.

Показать ответ и решение

Так как

x 9 9 y = 7 и x= 7 ⋅y,

получаем, что

9 16- x+y-= 79 ⋅y+-y-= 72-⋅y= 8 x− y 7 ⋅y− y 7 ⋅y

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77403Максимум баллов за задание: 7

Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала переведём задачу на математический язык. Как это будет выглядеть? Не забывайте, что условия должны выполняться одновременно.

Подсказка 2

Верно, запишем это как систему x² - y²=6 и (x - 2)² - (y-2)² = 18. Давайте теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Нет ли у нас похожих слагаемых у двух уравнений? Что можно естественным образом сделать?

Подсказка 3

Да, видим, что и там, и там есть x²-y². Значит, мы можем заменить во втором уравнение это выражение на 6 и преобразовать. Получим, что x-y = -3. А нам нужна сумма. Не можем ли мы теперь из первого уравнения всё найти?

Подсказка 4

Верно, первое уравнение можно разложить на скобки по формуле. Одну из скобок мы знаем и отсюда легко находим искомую сумму. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть наши числа — $x$ и $y.$ Из условия следует система:

{ x2− y2 = 6 (x− 2)2 − (y− 2)2 = 18

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

2 2 x − 4x +4− (y − 4y+ 4)= 18

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

x2− 4x+4 − (y2− 4y +4)= x2− 4x +4− y2+ 4y − 4= x2− y2− 4x +4y

Из первого уравнения системы $x2− y2 = 6.$ Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

6− 4x+ 4y = 18

Перенесем $6$ в правую часть и разделим равенство на $− 4$ :

x − y =− 3

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

(x− y)(x+ y)= 6

Теперь, подставим в это равенство $x− y = −3,$ тогда получаем:

− 3(x+ y)= 6

Разделив уравнение на $− 3,$ получаем нужное значение суммы $x+ y = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78953Максимум баллов за задание: 7

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Пусть наши числа равны $a,a ,...,a . 1 2 2020$ Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть $a − a. 1 2$ Тогда почти все квадраты сократятся, кроме $2 a1$ и $2 a2.$ И того получим после разложения на скобки $(a1− a2)(a1+ a2)= 0,$ но числа у нас положительные, поэтому $a1 = a2.$ Аналогично проводя преобразования получим, что все $ai$ равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Ответ:

Все числа равны $--1 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#78955Максимум баллов за задание: 7

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят $50,$ а остальные больше $50,$ но не превосходят $100.$ При этом никакие два из них не отличаются ровно на $50.$ Найдите сумму этих чисел.

Показать ответ и решение

Вычтем $50$ из каждого числа, которое больше $50.$ Получатся $50$ разных чисел, то есть числа от $1$ до $50.$ Их сумма равна $1+ 2+ ...+ 50=25⋅51,$ а сумма исходных чисел — $25 ⋅51+ 25⋅50=25⋅101.$

Ответ:

$2525$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80764Максимум баллов за задание: 7

Из множества $M,$ состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$ , если $2 2 p − q = 792.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.

Подсказка 2

Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — наименьшее натуральное число из $M.$ Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех $7$ чисел равна

6⋅7 7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+ 2 =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

. 6a+21 не подходит, так как.. 3 .. 6a+20 не подходит, так как. 2 6a+19 нет противоречий 6a+18 не подходит, так как ... 3 6a+17 нет противоречий .. 6a+16 не подходит, так как. 2 6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, $p= 6a+ 19, q =6a+ 17.$ По условию задачи $p2 − q2 = 792$ или то же самое, что и

2 2 (6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒ 2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396 =⇒ a+3 =33 =⇒ a= 30

Следовательно, $M$ может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: $6a +19= 199$ — простое, $6a+ 17= 197$ — простое.

Ответ:

${30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90236Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $a+ 1 a$ — целое. Докажите, что число $a2+ 1- a2$ — тоже целое.

Показать доказательство

Так как $a+ 1 a$ — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, $(a + 1)2 = a2+ 2+ 1 a a2$ — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92257Максимум баллов за задание: 7

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#134185Максимум баллов за задание: 7

Можно ли число 2024 представить в виде $a3+b2,$ где $a$ и $b$ — натуральные числа?

Источники: Высшая проба - 2024, 10.1 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма квадрата и куба... Может, стоит попробовать выделить какие-то "удобные" слагаемые из 2024?

Подсказка 2

Какие "приятные" кубы Вы знаете?

Подсказка 3

Попробуйте взять 10³.

Показать ответ и решение

Заметим, что

10 3 5 2 3 2024 =1024+ 1000= 2 +10 = (2) + 10

Ответ: Да, можно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#136035Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A = 44 ...44$ — натуральное число, записанное $2n$ четвёрками, и $B = 88...88$ — натуральное число, записанное $n$ восьмерками, где $n$ — произвольное натуральное число. Докажите, что число $A− B$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Всесиб - 2024, 10.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, разность каких-то больших чисел должна быть равна квадрату какого-то неизвестного числа... А что это за число? Вероятно, оно имеет какой-то общий вид для всех n.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть искомую разность для маленьких n. Квадрат каких чисел получается?

Подсказка 3

Получается, что при n=1 A-B=6², при n=2 A-B=66². Хм, это совпадение, что получились квадраты чисел, состоящих из шестерок?

Подсказка 4

Попробуем доказать, что наша разность — это квадрат числа, состоящего из n шестёрок. Для этого надо как-нибудь преобразовать A-B...

Подсказка 5

На самом деле, и A, и B делятся на число 44...44, содержащее n четверок. Вынесите это число за скобку, останется только аккуратно сгруппировать множители!

Показать доказательство

Лемма.