Тема . Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тождественные преобразования
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128562

Упростить выражение

   27(1 − a27)      9(1− a9)        3(1− a3)       1 − a         1
a27(1+a27+-a54) + a36(1-+a9+-a18) + a39(1+a3+-a6) + a40(1+-a+-a2) − a40(1−-a)

и найти его значение при     √ ---
a= 108100.

Источники: Газпром - 2025, 10.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, мы видим большое и страшное выражение, которое явно придётся считать. Но будет ли разумным в такой ситуации выполнять все действия в том порядке, в каком они записаны? Может быть, тут всё же можно заметить какую-нибудь красоту?

Подсказка 2

Начнём с последних двух слагаемых: у них одинаковая степень а в знаменателе, а оставшиеся множители вместе превращаются в ФСУ, поэтому именно с этой парочкой работать не так уж сложно! Что же получилось теперь?

Подсказка 3

После сокращения полученной дроби, мы можем заметить, что пара слагаемых, ставших последними после преобразования, снова образует ФСУ в общем знаменателе!

Подсказка 4

Повторив такую операцию ещё пару раз, останется лишь аккуратно посчитать числа, воспользовавшись свойствами степеней!

Показать ответ и решение

Преобразуем разность двух последних дробей, приведя к общему знаменателю:

----1−-a---   ---1----   ---3-----
a40(1+ a+ a2) − a40(1− a) = − a39(1− a3)

Затем добавим к ней третью дробь и приведём к общему знаменателю:

        3
-393(1-− a3-)-6 − 39-3-3-= −-36-9--9-
a  (1 +a + a)   a (1− a )  a  (1 − a )

Аналогично добавим вторую дробь:

---9(1−-a9)---− ---9----= −----27---
a36(1+a9 +a18)   a36(1− a9)  a27(1 − a27)

Аналогично добавим первую дробь:

  27(1− a27)       27         81
a27(1+-a27+-a54)-−a27(1-− a27) =− 1−-a54

Подставим      √---
a=  108100:

− ---18108√---54-= −--81--= 9
  1−   100     1− 10
Ответ:

9

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!