Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Тема Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#47063Максимум баллов за задание: 7

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Составляем уравнения для чисел a и b в соответствии с условием. (a+b)/2 = 2 √3 и √(ab) = √3.

Подсказка 2!

Остается найти числа, зная их сумму и произведение! Например, по известной теореме о корнях многочленов!

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#97424Максимум баллов за задание: 7

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее – полусумме соседних чисел. Чему равна сумма красных чисел?

Источники: Всеросс, РЭ, 2008, 10.6

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c$ — три числа, стоящие подряд. Если $b$ — красное, то $b= a+c$ , а если $b$ — синее, то $2b= a+c$ . Запишем такие равенства для всех троек последовательных чисел и сложим их.

В правой части получится удвоенная сумма всех чисел, а в левой — сумма красных плюс удвоенная сумма синих. Тогда, если $R$ — сумма всех красных чисел, а $B$ — сумма всех синих, то мы получим равенство $R+ 2B =2(R+ B)$ , откуда $R = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#78857Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

2xy(x3+ y3) (x+ y)(x4 − y4) -x2− xy+-y2 +---x2−-y2----

при

x= −1,6◟. ◝..◜6 ◞7 и y = −1,3◟. ◝..◜3 ◞ 44 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите дроби к одному знаменателю.

Подсказка 2

Вспомните формулы сокращенного умножения.

Показать ответ и решение

2xy(x3+ y3) (x +y)(x4− y4) x2−-xy-+y2-+ ---x2−-y2---=

2 2 2 2 2 2 = 2xy(x-+y2)(x-−-xy2+-y) + (x+-y)(x-+2-y-)(2x-− y-)= x − xy+ y x − y

= 2xy(x+ y)+(x+ y)(x2+ y2) =

=(x+ y)(x2+ 2xy +y2)= (x+ y)3

Подставим

x= −1,6◟-..◝.◜6 ◞7 и y = −1,3◟..◝◜.3◞: 44 45

3 3 (− 1,6◟..◝◜.6◞7+(−1,3◟. ◝..◜3 ◞)) = (−3) =− 27 44 45

Ответ:

$− 27$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#100191Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

(x− y)(x4− y4) 2xy(x3 − y3) ----x2− y2---− x2+-xy+-y2-

при

x= 1,2◟-..◝.◜22◞, y = −2,7◟-..◝.◜7 ◞8. 46 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Показать ответ и решение

По формулам разности квадратов и разности кубов выражения из условия равно

(2 2) 2 3 (x− y)x + y − 2xy(x− y)= (x− y)(x− y)= (x− y) =

3 3 =(1,2◟..◝4.◜622◞+2,7◟..◝◜45.7◞8) = 4 = 64

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#68247Максимум баллов за задание: 7

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа $a,b,c,d,$ для которых числа $a2+ 2cd +b2$ и $c2 +2ab+d2$ являются полными квадратами.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что оба наших выражения очень уж похожи на квадрат суммы. Вот только попарные произведения отличается. Вот если бы в первом выражении было не cd , а ab, то наше выражение свернулось бы в полный квадрат. И наоборот, если во втором выражении было бы не ab, а cd, то второе выражение свернулось бы в полный квадрат. Но, к сожалению, «реальность полна разочарований», вот только если не «мы сами определяем реальность». Нам же дали свободу выбора a,b,c,d. Может, можно исправить нашу проблему?

Подсказка 2

Да, действительно, если мы возьмем такие числа, что ab=cd, то оба выражения свернутся в полный квадрат, и это как раз то, что нам нужно. Значит, остаётся подобрать такие различные числа a,b,c,d, что ab=cd. Но это сделать совсем просто!

Показать ответ и решение

Достаточно найти такие $a,b,c$ и $d,$ что $cd =ab,$ тогда оба выражения свернутся в полный квадрат. Например, можно взять $a =1,b= 6,c= 2,d= 3.$

Ответ: (1, 6, 2, 3)