.04 Производство и издержки - задачи

1. Решение через анализ предельных затрат.

Вычислим предельные издержки: , .

Рассмотрим любое распределение , , , такое, что предельные издержки не равны. В целях минимизации нужно перенести выпуск с того завода, на котором предельные издержки больше, на тот, где они меньше, и суммарные издержки уменьшатся. Но поскольку предельные издержки убывают, разрыв между предельными издержками только увеличится, а значит, перераспределение выпуска нужно продолжить. В итоге мы придем к использованию только одного завода, а суммарные издержки будут меньше, чем чем в (любой) начальной точке. Таким образом, необходимо использовать лишь один завод, в данном случае первый, где издержки меньше.

2. Решение «в лоб» (аналитический метод).

Решим задачу минимизации суммарных издержек , если .

Для поиска минимума найдем производную:

Условие второго порядка:

Как можно заметить, вторая производная отрицательна при любых , а значит и в точке она также отрицательна. В этой точке достигается максимум общих издержек, а значит необходимо рассмотреть краевые точки (используется только первый завод) и (используется только второй завод). Очевидно, что издержки при использовании только первого завода будут меньше, чем при использовании только второго, откуда получаем ответ .