Тема Производство и издержки

04 Производство и издержки - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела производство и издержки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31832

На рынке железобетонных труб производственная функция фирмы имеет вид $√ ---- Q = KL$ . Рыночный спрос на железобетонные трубы представлен как $Q = 4000− 200p$ . Чему равны долгосрочные средние издержки фирмы в равновесии, если стоимость единицы труда и капитала равны 1?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57375

На одном предприятии система определения уровней производства на двух заводах происходит следующим образом: менеджер Аркадий говорит генеральному директору величину расходов ( $A$ ) на производство $Q = q + q 1 2$ , после чего директор определяет согласовывать бюджет или нет. Известно, что издержки на первом и втором заводе описываются функциями $T C1 = q21 + q1 + 10$ и $2 T C2 = q2 + q2 + 20$ . Конечно, директор может сказать сумму большую, чем он мог бы потратить на производство, главное, чтобы существовала такая пара $(q1,q2)$ , чтобы $T C (q1) + T C(q2) = A$ . Целевой уровень объема производства составляет 100 единиц.

а) Определите, какую максимальную сумму может заработать менеджер, если он забирает себе всю сумму, которая у него остается в результате завышения расходов.

б) Спустя 2 года подобных махинаций, директор начал что-то подозревать. Менеджер таким образом оценивает вероятность разоблачения (в этом случае он получает нулевой доход от сделки):

---A-−-T-Cmin--- 𝜃 = T Cmax − T Cmin ,

где $TCmax$ – максимальные суммарные издержки производства $100$ единиц продукцици, $T Cmin$ – минимальные издержки производства 100 единиц.

Какое значение суммарных издержек назовет Аркадий в новых условиях?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57385

Рассмотрим двухфакторную модель, характеризующуюся производственной функцией $Q (L,K )$ . При ценах $(w;r)$ на факторы производства зависимость покупаемого на рынке труда (фактора $L$ ) от уровня общих издержек представлена на графике:

Постройте график в координатах $(TC; K )$ , отражающий какой объем капитала закупит фирма при различных уровнях общих издержек, если $tg(α) = 1- w$ .

Примечание: не забудьте отметить ключевые точки $TC1, T C2,T C3$ на полученном графике и обосновать поведение (выпуклость/вогнутость, возрастание/убывание, поведение в ключевых точках) функции $K (T C)$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#59738

Фермер Василий владеет ангаром, который можно сдавать местному фермеру за 100 тыс. в год. Однако фермер использует это сооруджение для сушки сена, которое он продает местным хозяйствам, получая бухгалтерскую прибыль в размере 200 тыс. в год. Определите величину экономической прибыли фермера.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63814

В стране производятся всего два товара: икс( $x$ ) и игрек( $y$ ). Технология производства этих товаров описывается уравнениями: $x = (lx)α$ и $y = (ly)α$ , где $lx$ $(0 ≤ lx ≤ l)$ и $ly$ $(0 ≤ ly ≤ l)$ – части от общего ресурса $l$ , занятые в производстве икса и игрека соответственно, $α$ – некоторый параметр.

а) Постройте КПВ в координатах $(x;y)$ для $α = 0.5,1,2$ , а общий ресурс ограничен $l ≤ 10$ .

б) Определите поведение среднего и предельного продукта труда для каждого значения альфа из предыдущего пункта.

в) Определите поведение альтернативной стоимости для каждого значения альфа из пункта а).

г) Докажите или опровергните утверждение: «Если производственная функция $x(lx)$ характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то и функция среднего продукта $APx (lx)$ монотонно возрастает.»

д) Докажите или опровергните утверждение: «Если функция предельного продукта $M Px(lx)$ монотонно возрастает, то и функция среднего продукта монотонно возрастает.»

е) Докажите или опровергните утверждение: «Если производственные функции, $x(lx)$ и $y(ly)$ , характеризуются возрастающей отдачей от масштаба, то альтернативные издержки будут монотонно убывать.»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#112523

Рассмотрите два завода в разных городах, которые изготавливают продукцию по технологии $q = √x-$ , и вычислите какое минимальное количество труда необходимо для производства 10 единиц?

Показать ответ и решение

1. Определим, сколько труда нужно одному заводу для производства $q$ единиц. Для этого из технологии $q = √x-$ выразим $x : x = q2$ .

2. Пусть первый завод производит $q1$ , а второй — $q2$ . Тогда:

q1 + q2 = 10.

Общие трудовые затраты:

X = x1 +x2 = q21 + q22.

3. Минимизируем трудовые затраты, подставив $q2 = 10− q1$ :

2 2 2 X = q1 + (10− q1) = 2q1 − 20q1 + 100.

$X (q1)$ - парабола с ветвями вниз, а значит минимум находится в вершине $∗ q1 = 5$ . Тогда $∗ q2 = 5$ , и общие затраты труда:

2 2 X = 5 + 5 = 25 + 25 = 50.

Ответ: 50

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#120046

Фирма производит товары с использованием двух факторов производства: труда ( $L$ ) и капитала ( $K$ ). Технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:

Q = L0.5K0.5

В краткосрочном периоде капитал фиксирован и равен $-- K = K = 16$ .

Стоимость факторов производства:

– Заработная плата ( $w$ ) = 4 ден. ед. за единицу труда.

– Аренда капитала ( $r$ ) = 1 ден. ед. за единицу капитала.

Требуется:

1. Вывести краткосрочную функцию общих затрат ( $TCSR$ ) как функцию от объема выпуска ( $Q$ ).

2. Найти долгосрочную функцию общих затрат ( $T CLR$ ), предполагая, что фирма может оптимально выбирать и $L$ , и $K$ .

3. Определить, при каком объеме выпуска ( $Q$ ) краткосрочные и долгосрочные затраты совпадают.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#120047

Фирма производит товары, используя технологию с жестко фиксированными пропорциями факторов производства (функция Леонтьева). Производственная функция имеет вид:

( ) L- K- Q = min 2 ,4

Цены факторов:

– Заработная плата ( $w$ ) = 6 ден. ед. за единицу труда.

– Арендная ставка капитала ( $r$ ) = 3 ден. ед. за единицу капитала.

Требуется:

1. Найти условие оптимального сочетания факторов $L$ и $K$ при заданном объеме выпуска $Q$ в долгосрочном периоде.

2. Вывести функцию общих затрат в долгосрочном периоде ( $TCLR$ ). 3. Определить функцию затрат в краткосрочном периоде, если капитал фиксирован на уровне $K = 12$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#120048

Постройте карту изоквант для производственной функции и определите тип отдачи от масштаба:

( ) L- K- L- K- Q = min 2 + 4 ,4 + 2

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#120049

Производственная функция на каждом из двух заводов описывается как $qi = i(li)2$ . Выведите общую производственную функцию $q(l)$ , показывающую, какой суммарный уровень выпуска способна сделать фирма при использовании $l = l1 + l2$ труда.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#120050

Докажите утверждение: «если средний продукт монотонно убывает, то производственная функция характеризуется убывающей отдачей от масштаба»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#120051

Докажите утверждение: «если средний продукт растет, то предельный продукт выше среднего»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#120052

Докажите утверждение: «если производственная функция в однофакторной модели характеризуется убыванием среднего продукта, то производственная функция эластична по фактору»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#120053

Докажите утверждение: «если производственная функция эластична по фактору, то в однофакторной модели при фиксированной цене ресурса общие издержки не эластичны по выпуску»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#120054

Докажите утверждение: «если производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то при фиксированных ценах на факторы средние издержки не возрастают по выпуску»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#120069

Заполните таблицу, вычислив средний ( $APL$ ) и предельный ( $M PL$ ) продукт труда и постройте их графики, проанализировав динамику производительности.


$L$ (труд)	$Q$ (выпуск)	$APL$	$M PL$

1	5

2	12

3	21

4	28

5	33

Показать ответ и решение

Используя формулы $APL = Q ∕L$ , $M PL = ΔQ ∕ΔL$ рассчитаем показатели:


$L$ (труд)	$Q$ (выпуск)	$APL$	$M PL$

1	5	5	—

2	12	6	7

3	21	7	9

4	28	7	7

5	33	6,6	5

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#120077

Для каждой производственной функции определите характер отдачи от масштаба:

1. $Q = 2K0.3L0.7$

2. $Q = K + 2L$

3. $Q = (0.5K2 + 0.5L2)1∕3$

Показать ответ и решение

Для анализа отдачи от масштаба подставим $nK$ и $nL$ вместо $K$ и $L$ в производственную функцию и сравним с $nQ(K, L)$ .

1. $Q = 2K0.3L0.7$

Q(nK, nL) = 2(nK )0.3(nL)0.7 = 2n0.3K0.3n0.7L0.7 = n0.3+0.7⋅2K0.3L0.7 = n1Q(K, L)

Получаем:

Q(nK, nL) = nQ (K,L )

Перед нами функция с постоянной отдачей от масштаба.

2. $Q = K + 2L$

Q(nK,nL ) = nK + 2nL = n(K + 2L ) = nQ(K, L)

Получаем:

Q(nK, nL) = nQ (K,L )

Здесь также постоянная отдача.

3. Решаем аналогично

$2 2 1∕3 Q = (0.5K + 0.5L )$

Q(nK, nL) = (0.5(nK )2+0.5(nL )2)1∕3 = (0.5n2K2+0.5n2L2 )1∕3 = n2(0.5K2+0.5L2 ))1∕3 = n2∕3Q (K,L )

Сравним с $nQ (K, L)$ :

n2∕3 < n,n > 1

Получаем:

Q(nK, nL) < nQ (K,L )

В данном случае наблюдается убывающая отдача от масштаба

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#120090

Постройте изокванты для $Q = 32$ для следующих производственных функций:

1. $Q = 2KL$

2. $Q = K + L$

3. $√ --- √ -- Q = K + L$

6. $2 2 Q = K + L$

5. $Q = (K + L)7$

Показать ответ и решение

Построение изоквант для $Q = 32$ : Изокванта представляет собой множество комбинаций факторов производства $K$ (капитал) и $L$ (труд), которые обеспечивают одинаковый объём выпуска $Q$ .

1. Производственная функция $Q = 2KL$

Для $Q = 32$ :

16 2KL = 32 =⇒ KL = 16 =⇒ L = --- K

Изокванта: Гипербола $16 L = --- K$ .

2. Производственная функция $Q = K + L$

Для $Q = 32$ :

K + L = 32 = ⇒ L = 32 − K

Изокванта: Прямая линия с наклоном $− 1$ .

3. Производственная функция $√ --- √ -- Q = K + L$

Для $Q = 32$ :

--- -- -- --- --- √ K + √ L = 32 =⇒ √ L = 32 − √ K =⇒ L = (32 − √ K )2

Изокванта: Кривая $√ --- L = (32 − K )2$ , определённая при $0 ≤ K ≤ 1024$ .

6. Производственная функция $Q = K2 + L2$

Для $Q = 32$ :

K2 + L2 = 32 =⇒ L = ± √32--−-K2--

Изокванта: Окружность радиусом $√ --- 32$ в неотрицательном квадранте (так как $K, L ≥ 0$ ).

5. Производственная функция $Q = (K + L )7$

Для $Q = 32$ :

(K + L )7 = 32 =⇒ K + L = 321∕7 = ⇒ L = 321∕7 − K

Изокванта: Прямая линия $L = 2 − K$ (поскольку $1∕7 32 = 2$ ).

$KL = 16 K√ +-L =√ 32 ( K + L ) = 32 K2 + L2 = 32 051122330123KLИ050505000зоква нты дKля+ рLазл=и2чны х произв одственн ых ф унк ций$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#120098

Докажите утверждение: «если средний продукт монотонно убывает, то производственная функция характеризуется убывающей отдачей от масштаба».

Показать ответ и решение

Рассмотрим два выпуска $Q0(L0 )$ и $Q1(L1 )$ таких, что $Q1 > Q0$ ( $L1 > L0$ ). Если средний продукт убывает, то $Q0∕L0 > Q1 ∕L1$ , что эквиваленто $Q1 ∕Q0 < L1∕L0$ , что и говорит об убывающей отдаче от масштаба (неравенство показывает, что выпуск слабее фактора).