Тема Производство и издержки

04 Производство и издержки - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела производство и издержки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#120937

Известно, что производственная функция на каждом из двух заводов описывается как $-- qi = √li$ . Выведите общую производственную функцию фирмы.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#120941

Рассмотрите технологию

Q = min [2L + 4K, 6L + 2K ]

а) Определите характер отдачи от масштаба для данной производственной функции.

в) Постройте карту изоквант.

в) Выведите функцию предельных затрат производства икса и игрека, если стоимость найма единицы труда и единицы капитала стоят 1 и 2 ден. единиц соответственно.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#125475

Найдите суммарные затраты на фирме, владеющей заводами с функциями затрат $T C1 = q1$ и $T C2 = 2q2$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что предельные издержки на каждом из заводов постоянны и составляют 1 и 2 соответственно, поэтому рост выпуска на 1 ед. связан с дополнительными издержками в 1 ден. ед на первом заводе или 2 ден. ед на втором. В этом случае использование второго завода не имеет смысла.

Ответ:

$T C (Q) = Q$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#125476

Найдите суммарные затраты на фирме, владеющей заводами с функциями затрат $T C1 = 2q2 1$ и $2 T C2 = 4q 2$ .

Показать ответ и решение

В этом случае суммарные издержки $TC (q1,q2) = 2q2 + 4q2 1 2$ . Если $q2 = Q − q1$ , то

TC (q1,Q ) = TC1 (q1) + T C2(Q − q1) = 2q2+ 4 (Q − q1)2 = 6q2− 8Qq1 + 4Q2 → min 1 1 q1≥0

Целевая функция – парабола с ветвями вверх относительно $q1$ , а значит минимум находится в вершине $q∗1 = 2Q ∕3$ , тогда $q∗2 = Q ∕3$ . Откуда получаем суммарную функцию издержек $T C (q∗(Q ),q∗(Q )) = 2(2Q ∕3)2 + 4(Q ∕3)2 = 4Q2 ∕3. 1 2$

Ответ:

$T C = 4Q2∕3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#125477

Найдите суммарные затраты на фирме, владеющей заводами с функциями затрат $T C1 = √q1-$ и $√-- T C2 = 2 q2$ .

Показать ответ и решение

1. Решение через анализ предельных затрат.

Вычислим предельные издержки: $′ 1 M C1 = T Cq1 = 2√q1$ , $′ 1 M C2 = TC q2 = √q2$ .

Рассмотрим любое распределение $(q ,q ) 1 2$ , $q ,q > 0 1 2$ , $q + q = Q 1 2$ , такое, что предельные издержки не равны. В целях минимизации $T C$ нужно перенести выпуск с того завода, на котором предельные издержки больше, на тот, где они меньше, и суммарные издержки уменьшатся. Но поскольку предельные издержки убывают, разрыв между предельными издержками только увеличится, а значит, перераспределение выпуска нужно продолжить. В итоге мы придем к использованию только одного завода, а суммарные издержки будут меньше, чем чем в (любой) начальной точке. Таким образом, необходимо использовать лишь один завод, в данном случае первый, где издержки меньше.

2. Решение «в лоб» (аналитический метод).

Решим задачу минимизации суммарных издержек $√ -- √ -- T C (q1,q2) = q1 + 2 q2$ , если $q2 = Q − q1$ .

√ -- ∘ ------- TC (q1,Q ) = TC1 (q1) + T C2(Q − q1) = q1 + 2 Q − q1 → miq1n≥0

Для поиска минимума найдем производную:

′ --1-- ---1----- T C q1 = 2√q1- − √Q--−-q1 = 0 ⇒ q1 = Q∕5

Условие второго порядка:

1 1 T C′q′1 = − ---√---− ---------√--------< 0 4q1 q1 2(Q − q1) Q − q1

Как можно заметить, вторая производная отрицательна при любых $q1 ∈ (0,Q )$ , а значит и в точке $q∗1 = Q ∕5$ она также отрицательна. В этой точке достигается максимум общих издержек, а значит необходимо рассмотреть краевые точки $q∗ = 0 1$ (используется только первый завод) и $q∗= Q 1$ (используется только второй завод). Очевидно, что издержки при использовании только первого завода будут меньше, чем при использовании только второго, откуда получаем ответ $√ -- T C = Q$ .

Ответ:

$T C = √Q--$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#125478

Найдите суммарные затраты на фирме, владеющей заводами с функциями затрат $T C1 = q2 1$ и $T C2 = 8q2$ .

Показать ответ и решение

1. Целевая функция:

TC (q1,q2) = TC1 + T C2 = q2+ 8q2 1

2. Ограничение:

q1 + q2 = Q

3. Выразим $q2$ через $q1$ :

q2 = Q − q1

4. Подставим в функцию затрат:

T C(q1) = q21 + 8(Q − q1)

5. Найдём минимум затрат, взяв производную по $q1$ и приравняв её к нулю:

TC ′q1 = 2q1 − 8 = 0

тогда

q1 = 4

6. Найдём $q2$ :

q = Q − 4 2

7. Суммарные затраты при оптимальном распределении:

TC = 42 + 8(Q − 4 ) = 16 + 8Q − 32 = 8Q − 16

Учтем, что найденные выпуски будут оптимальны, если $Q ≥ 4$ . Если $Q < 4$ , то с учетом ограничения $q1 ≤ Q$ , оптимальный выпуск на первом заводе $q∗ = Q 1$ , тогда $q∗ = 0 2$ . В этом случае при $Q < 4$ : $2 T C = Q$ .

Ответ:

( { 8Q − 16, Q > 4 T C = ( 2 Q , Q ≤ 4