Тема Математика для экономистов

04 Математика для экономистов - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математика для экономистов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126385

Решите задачу, поставленную системой:

( |{ f (x,y) = 2x + 8y → max x,y≥0 |( 2y + 4x = 200

В качестве ответа запишите максимальное значение целевой функции.

Показать ответ и решение

Выразим из ограничения $y = (200 − 4x )∕2 = 100 − 2x$ и подставим в целевую фунцкцию $f (x, y(x)) = 2x + 8 ⋅ (100 − 2x) = 800 − 18x$ . Заметим, что $f(x,y (x ))$ монотонно убывает, а значит необходимо рассмотреть наименьший икс, $x ∗ = 0$ , откуда $y∗ = 100$ . Максимальное значение функции $f max = 8 ⋅ 100 = 800$ .

Ответ: 800

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126947

Каждый месяц компания «МебельВам» планирует производить $100$ столов и продавать $50%$ процентов от их запасов. Первоначальных запасов на момент открытия фирма не имеет. Определите, какого минимального размера (вместимости) склад необходимо построить, чтобы его точно хватило на всё время существования компании. Считайте, что фирма производит столы в начале периода и сразу же может продать их.

Показать ответ и решение

Нашей задачей является нахождение суммы:

(((100⋅0.5+ 100)⋅0.5 + 100) ⋅0.5+ 100)⋅0.5+ ...

Расскроем скобки и запишем слагаемые в обратном порядке:

(((100⋅0.5+100)⋅0.5+100)...= 100+100⋅0.51+100⋅0.52+100+ ⋅0.53+...= 100⋅(1+0.5+0.52+0.53+...)

Используя формулу бесконечно убывающей прогрессии $S = b1∕(1− q)$ :

100⋅(1+ 0.5+ 0.52 + 0.53 + ...) = 100⋅-1-- = 200. 1 − 0.5

Ответ: 200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126948

Издержки на фирме описываются функцией:

∘ --------------- C (Q ) = Q4 + 80Q2 + 100

Найдите минимальное значение себестоимости и выпуск, при котором это значение достигается.

Показать ответ и решение

Найдем себестоимость единицы выпуска:

∘--------------- ∘ ---------------- AC (Q ) = C (Q )∕Q = Q4 + 80Q2 + 100∕Q = Q2 + 80 +100∕Q2

Воспользуемся неравенством Коши о средних:

∘ ---------------- ∘ ---------100- ∘ ----100- √--------- Q2 + 80+ --2 ≥ 2⋅ Q2 ⋅--2 + 80 = 2 ⋅10+ 80 = 10 Q Q

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126949

Известно, что отраслевая прибыль следующим образом зависит от количества активных фирм (производящих положительный объем) на рынке:

Π (n) =--16n--. (n + 3)2

Постройте график $Π(n)$ в координатах « $n − Π$ » и определите точку максимума.

Показать ответ и решение

Найдем наибольшую прибыль при $n > 0$ :

Π (n) = --16n--- = --216--- = ----16---- (n + 3)2 n+6nn+9- n + 9n + 6

16 16 16 16 ----9-----≤ -∘----------= ----- = --- n + n + 6 2 n ⋅ 9 + 6 6 + 6 12 n

Πmax = 4- 3

Ответ:

$4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126950

Однажды $N$ гномов собрались в круг и решили меряться ростом.Они решили, что каждый гном будет соревноваться с соседом слева. Грусть $i$ -ого гнома составляет $x xi+i1-$ , где $xi$ и $x i+1$ – рост $i$ -ого и $i + 1$ гномов соответственно. Грусть $N$ -ого гнома составляет $xN- x1$ . Докажите, что для произвольной расстановки суммарная грусть гномов не может быть ниже $N$ .

Показать доказательство

Оценим суммарную грусть гномов:

x1-+ x2-+ x3-+ ...+ xn-−1 + xn- x2 x3 x4 xn x1

∘ ---------------------- x1- x2- xn-−1 xn- n x1- x2- xn−1- xn- x + x + ...+ x + x ≥ n x ⋅x ⋅ ...⋅ x ⋅x = n 2 3 n 1 2 3 n 1

Что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126954

Компания повышает зарплату новому сотруднику каждый год на 10 000 рублей. В первый год работы его оклад составил 300 000 рублей.

а) Какой будет зарплата сотрудника на 10-й год работы?

б) Сколько всего денег он заработает за 5 лет?

Показать ответ и решение

а) Зарплата на 10-й год работы

Используем формулу арифметической прогрессии:

an = a1 + (n − 1) ⋅ d

где:

$a1 = 300 000$ руб. – начальная зарплата
$d = 10 000$ руб. – ежегодное повышение
$n = 10$ – номер года

Подставляем значения:

a10 = 300 000 + (10 − 1) ⋅ 10000 = 300000 + 90000 = 390000 р уб.

Ответ: $-390000--$ рублей

б) Общий заработок за 5 лет

Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

n Sn = -2 ⋅ (2a1 + (n − 1) ⋅ d)

где $n = 5$ .

Подставляем значения:

5- 5- S5 = 2 ⋅ (2 ⋅ 300 000 + 4 ⋅ 10 000) = 2 ⋅ 640 000 = 1 600000 руб.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126955

Динамика капиталооворуженности (количество капитала, приходящееся на одного работника) в стране Икс описывается равенством:

kt = 60 + 0.4kt−1

Найдите уровень капиталовооруженности в долгосрочном периоде (если $t → ∞$ ).

Примечание: можете считать, что в первом периоде ( $t = 1$ ) уровень капиталовооруженности равен $k = 20 1$ .

Показать ответ и решение

1. Представление решения в виде ряда

При последовательной подстановке получаем:

k2 = 60 + 0.4k1 = 60 + 0.4 × 20 = 60 + 8 = 68,

k3 = 60 + 0.4k2 = 60 + 0.4 × 68 = 60 + 27.2 = 87.2,

k = 60 + 0.4k = 60 + 0.4 × 87.2 = 60 + 34.88 = 94.88, 4 3

2. Предельный переход при $t → ∞$

При $t → ∞$ слагаемое $0.4t− 1k → 0 1$ , так как $0.4 < 1$ .

Остаётся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

∞ ∗ ∑ n 0 1 2 k = 60 0.4 = 60 ⋅ (0.4 + 0.4 + 0.4 + ...) n=0

3. Сумма прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a S = --1-- 1 − q

где $a1 = 60$ , $q = 0.4$ .

Таким образом:

60 60 k ∗ = -------= --- = 100 1 − 0.4 0.6

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126956

Издержки на фирме описываются функцией:

∘ --------------- C(Q ) = 4 Q8 + 4Q4 + 14

Найдите минимальное значение себестоимости и выпуск, при котором это значение достигается.

Показать ответ и решение

1. Определение функции себестоимости

Себестоимость (средние издержки) вычисляется как:

C(Q ) 4∘Q8-+-4Q4-+-14 AC (Q) = -----= --------------- Q Q

2. Упрощение выражения

Преобразуем выражение:

8 4 1∕4 ( 8 4 )1∕4 ( )1∕4 AC (Q ) = (Q-+-4Q-+-14)---= Q--+-4Q4-+-14- = Q4 + 4+ 144 Q Q Q

3. Применение неравенства Коши

Рассмотрим выражение под корнем:

Q4 + 14- Q4

Применим неравенство о средних (Коши) для двух положительных величин:

∘ ------- √ -- Q4 + -144 ≥ 2 Q4 ⋅-144 = 2 14 Q Q

Таким образом:

4 -14- √-- Q + 4+ Q4 ≥ 4 + 2 14

4. Нахождение минимума

Минимальное значение достигается при:

Q4 = -14⇒ Q8 = 14 ⇒ Q = 141∕8 Q4

Подставляя, получаем минимальную себестоимость:

( √--)1∕4 ACmin = 4+ 2 14

Ответ:

Минимальная себестоимость:

|------------| |(4+ 2√14)1∕4| -------------

Достигается при выпуске:

|-1∕8| 14----

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126957

Найдите максимум функции $∘ --------- f(x) = x (1 − x )$ с помощью неравенства Коши.

Показать ответ и решение

Применим неравенство Коши (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим) для чисел $x$ и $1 − x$ :

x + (1 − x) ∘ --------- ----------- ≥ x (1 − x ) 2

Упростим левую часть неравенства:

1- ∘ --------- 2 ≥ x (1 − x )

Возведём обе части в квадрат:

( ) 1- 2 1- 2 ≥ x(1 − x) = ⇒ 4 ≥ x(1 − x)

Следовательно, для исходной функции получаем:

∘ --------- 1- f(x) = x (1 − x ) ≤ 2

Условие достижения максимума

Равенство достигается тогда и только тогда, когда:

1- x = 1 − x =⇒ x = 2

Проверим значение функции в этой точке:

( ) ∘ --(------)- ∘ -- 1- 1- 1- 1- 1- f 2 = 2 1 − 2 = 4 = 2

Вывод

Функция $f (x )$ достигает своего максимального значения $12$ в точке $x = 12$ .

Ответ:

Максимальное значение функции:

max 1- f = 2

Точка максимума:

1 x = -- 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#126958

Докажите, что для любых положительных чисел $a,b,c$ выполняется неравенство:

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Показать доказательство

Применим неравенство о средних для каждой пары чисел:

$pict$

Перемножим эти неравенства:

------ (a +-b)(b-+-c)(c +-a-)≥ √ a2b2c2 = abc 8

Умножив на 8, получаем требуемое:

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#126959

Некий правитель страны X решил вписать своё имя в историю и начал строить дороги, соединяющие столицу и будущие города страны. Поручив это задание своим министрам, он сказал, что выделит 54 миллиона рублей на постройку каждой новой дороги, но ему хочется в рамках этого условия построить дороги так, чтобы их суммарная протяженность была максимальной. Основание дороги длины $L$ километров обойдется бюджету в $2 L$ миллионов, а издержки основания каждой новой дороги таковы, что решив построить $i$ дорог, правителю придётся распрощаться с $i2$ миллионами. Таким образом, если решено построить $k$ дорог, то придётся заплатить $2 k$ , а также дополнительно $2 Lj$ за каждую в зависимости от длины j-ой дороги. Сколько дорог будет построено в стране X?

Показать ответ и решение

Правитель страны X выделяет:

$54$ млн руб. на каждую новую дорогу
Издержки основания $k$ дорог: $k2$ млн руб.
Стоимость дороги длиной $Lj$ : $L2j$ млн руб.

Бюджетное ограничение:

2 ∑k 2 k + Lj = 54k j=1

или без знака суммы:

k2 + L2 + L2 + ...L2 = 54k 1 2 k

Цель: максимизировать сумму длин

$∑k Lj = L1 + L2 + L3 + ...+ Lk j=1$

Решение

1. Оптимизация длин дорог

При фиксированном $k$ максимизируем сумму длин при ограничении $∑ L2j = 54k − k2$ .

По неравенству Коши:

k ┌│ ----k----- ∑ │∘ ∑ 2 ∘ ----------2- Lj ≤ k ⋅ L j = k(54k − k ) j=1 j=1

(Посмотрите большую картинку с неравенством с вебинара)

Равенство достигается при

$∘ ------ 54k−k2 √ ------- L1 = L2 = ...= Lj = k = 54 − k$ .

2. Оптимизация количества дорог

Максимизируем функцию:

S (k) = k√54--−-k-= √54k2--−-k3-

Максимизируем подкоренное выражение:

$f(k) = 54k − 2 − k3$

f ′= 108k − 3k2 = 0 =⇒ k = 0 или k = 36 k

Вторая производная:

f′′(k) = 108 − 6k

При $k = 36$ :

f′′(36) = − 108 < 0 (м аксим ум )

Ответ: 36

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#126960

Рассмотрите функцию $f (x)$ и найдите оптимальный $x$ для различных значений параметра $a$ .

$f(x) = − 0.5x2 + ax + 2$ , если $0 ≤ x ≤ 6$ $(max )$

Показать ответ и решение

1. Найдем вершину параболы:

Функция квадратичная, и так как коэффициент при $2 x$ отрицательный ( $− 0.5$ ), парабола направлена ветвями вниз. Максимум достигается в вершине.

Абсцисса вершины:

x = ---−-a-----= −-a = a 2 × (− 0.5) − 1

2. Анализируем положение вершины относительно отрезка $[0,6]$ :

Если $a < 0$ , вершина лежит левее отрезка. Максимум на $[0,6]$ достигается в точке $x = 0$ .
Если $0 ≤ a ≤ 6$ , вершина принадлежит отрезку. Максимум в $x = a$ .
Если $a > 6$ , вершина правее отрезка. Максимум в $x = 6$ .

Ответ

Оптимальное значение $x$ зависит от параметра $a$ :

( || 0, if a < 0, |{ x∗ = a, if 0 ≤ a ≤ 6, ||| ( 6, if a > 6.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#126961

Рассмотрим функцию $f(q)$ . Для любого значения параметра $p$ найдите нули этой функции.

$2 2 f(q) = q − 4pq + p − 25$

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(q) = q2 − 4pq + p2 − 25$ . Чтобы найти её нули для любого значения параметра $p$ , решим уравнение:

2 2 q − 4pq + p − 25 = 0

Это квадратное уравнение относительно переменной $q$ . Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

∘ ----------------------- 4p ± (4p)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (p2 − 25) q = ------------------------------ 2 ⋅ 1

Упростим дискриминант:

∘ ----------------- ∘ ----------------- ∘ ----------- ∘ --------- 16p2 − 4(p2 − 25) = 16p2 − 4p2 + 100 = 12p2 + 100 = 2 3p2 + 25

Подставим обратно в формулу для $q$ :

∘ --2------ --------- q = 4p ±-2--3p--+-25-= 2p ± ∘ 3p2 + 25 2

Таким образом, нули функции $f (q)$ при любом $p$ равны:

|--------∘----------| q = 2p ± 3p2 + 25| ---------------------

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#127146

Рассмотрите функцию $f (x)$ и найдите оптимальный $x$ для различных значений параметра $a$ .

$f(x) = a√x--− √4x,-$ если $0 ≤ x ≤ 16$ $(max )$

Показать ответ и решение

1. Замена переменной

Введём замену:

√-- t = 4x ⇒ x = t4

Тогда:

f(t) = at2 − t, t ∈ [0,2]

(так как при $x = 16$ : $t = 2$ , при $x = 0$ : $t = 0$ )

2. Анализ квадратичной функции

Исследуем $2 f(t) = at − t$ на $[0,2]$ :

При $a ≤ 0$ функция убывает на $[0,2]$ , максимум в $t = 0$
При $a > 0$ - парабола с ветвями вверх

3. Нахождение вершины

Координата вершины:

1 tверш = 2a-

Анализируем положение вершины:

Если $1- 2a ≥ 2$ ( $1 a ≤ 4$ ) - функция возрастает
Если $1- 0 < 2a < 2$ ( $1 a > 4$ ) - есть вершина внутри отрезка

4. Сравнение значений

Вычислим значения:

$pict$

Анализ случаев:

При $a ≥ 12$ : $f (2 ) ≥ 0$ - максимум в $t = 2$
При $a < 12$ : $f(2) < 0$ - максимум в $t = 0$

Ответ:

После обратной замены $x = t4$ получаем:

( | 1- { 0, если a < 2, xопт = | 1 ( 16, если a ≥ -. 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#127147

Рассмотрите функцию $f (x)$ и найдите оптимальный $x$ для различных значений параметра $a$ .

$f(x) = 10x − ax3$ , если $x ≥ 0$ $(max )$

Показать ответ и решение

1. Находим производную:

f′(x) = (10x − ax3)′ = 10 − 3ax2

2. Находим критические точки:

∘ --- 10 10 − 3ax2 = 0 = ⇒ x = --- 3a

3. Определяем тип критической точки:

Вторая производная:

f ′′(x ) = − 6ax

В точке $∘ --- 10 x = 3a$ : $′′ f (x) < 0$ (найден максимум).

4. Анализ поведения функции:

При $a > 0$ : максимум в $∘ -10- x = 3a$ .
При $a ≤ 0$ : $′ f (x) > 0$ , функция возрастает, не имеет максимума.

Ответ:

|-----------------------------------------------| (| ∘ 10- | { x = ---, если a > 0,| | 3a | |( фун кция н е и меет ма ксиму ма, если a ≤ 0.| -------------------------------------------------

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#127148

Рассмотрим функцию $f(q)$ . Для любого значения параметра $p$ найдите нули этой функции.

$8 10 f(q) = (2q − p + 36) + (p − 8q)$

Показать ответ и решение

Приравняем функцию к нулю:

8 10 (2q − p + 36) + (p − 8q) = 0

Заметим, что оба слагаемых являются чётными степенями и неотрицательны. Сумма неотрицательных чисел равна нулю только когда каждое слагаемое равно нулю: