04 Неравенство - задачи

Представьте, что вам сказали коэффициент Джини, характеризующий неравенство в распределении доходов в России, этот коэффициент составил 0,5.

Вася Пупкин, ворвавшийся в ваш личный кабинет, где вы размышляли насчет того, как же могла выглядеть кривая Лоренца, ткнул в случайную точку внутри квадрата, образованного неравенствами и (где – доля беднейших жителей страны, – доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения), а вы, профессионально проведя расчеты, воскликнули: "А эта точка и правда могла принадлежать кривой Лоренца! Правда, точный вид этой кривой восстановить всё равно не удастся мало данных"

Найдите вероятность того, что Вася Пупкин угадал точку, которая могла принадлежать кривой Лоренца.

Для экономики страны Кси известно, что кривая Лоренца описывается уравнением:

где – доля беднейших жителей страны, – доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения, – некоторые параметры, значения которых точно не известно.

Определите множество возможных значений коэффициента Джини в стране Кси.

Однажды в Цветочном городе на аллее Ромашек встретились Винтик со Шпунтиком, который в последнее время увлекся экономикой, а именно вопросом, как оценить неравенство в распределении доходов в их городке. Шпунтик провел необходимые расчеты и поведал текущее положение дел.

Винтик мало что заполнил, и, придя к Незнайке в гости, сообщил: "Разговаривал я тут со Шпунтиком, он мне сказал, что кривая Лоренца, которая отражает, какой долей от совокупного дохода города владеет доля беднейших его жителей, описывается каким-том многочленом вида (). А ещё он назвал значение того самого коэффициента Джини, но я точно не помню это число, уверен только в одном - оно было точно не меньше . Эх... Память подводит, не могу вспомнить параметры". Незнайка отлично знал принципы построения кривой Лоренца и вычисления коэффициента Джини, благодаря чему понял, что данных Винтика должно хватить для нахождения параметров многочлена.

Действительно, проведя некоторые рассуждения, Незнайка воскликнул: "Я знаю! Параметры были такие...". Какие же значения параметров назвал Незнайка?

Рассмотрим садовое товарищество, организованное в виде кольцевых дорожек, вблизи которых расположены дома (см. рисунок).

На -ой дорожке (считая от центра) живут идентичных дачников. Суммарный доход, получаемый жителями -го кольца, равен млн руб., где – количество (не менее двух) дорожек в садовом товариществе.

а) Может ли коэффициент Джини, отражающих неравенство в распределении доходов между дачниками, быть равен 1/4?

б) Может ли коэффициент Джини быть равным 4/9?

в) Определите верхнюю границу коэффициента Джини.

Рассмотрим экономику с жителями, в которой -ый житель имеет доход в размере ден. единиц.

Определите верхнюю границу коэффициента Джини, характеризующего степень дифференциации доходов среди жителей данной страны.

Примечание: значение – наперед заданная величина, то есть параметр задачи. Ваш ответ должен содержать .

Для экономики страны Кси известно, что кривая Лоренца описывается уравнением:

где - доля беднейших жителей страны, - доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения.

Президент страны решил снизить уровень неравенства в обществе посредством мер фискальной политики. В результате проведенной политики в стране установилось абсолютное равенство в распределении доходов. Определите, какую долю совокупного дохода пришлось перераспределить от богатых к бедным.

Рассмотрим кривую Лоренца , где – доля беднейших жителей страны, – доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения. Назовем индексом Робин Гуда (или индексом Гувера) величину, показывающую, какая (минимально возможная) доля суммарного дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномерного распределения доходов.

а) Докажите, что этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца. Например, для кривой Лоренца индекс Робин Гуда есть максимальное значение величины .

б) Сравните значения индекса Робин Гуда и коэффициента Джини для любых кривых .