Тема Олигополии и теория игр

04 Олигополии и теория игр - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела олигополии и теория игр

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57362

Боб (агент 1) и Джон (агент 2) очутились на необитаемом острове. Ребятам приходится питаться рыбой( $x$ ) и кокосами( $y$ ), которыми Боб владеет в размере $(x1,y1) = (5,10)$ , а Джон - в размере $(x ,y ) = (10,5) 2 2$ .

Известно, что предпочтения в потреблении рыбы и кокосов описываются функциями полезности: $U1 = x1 + y1$ и $U2 = x2y2$ для Боба и Джона соответственно.

a) Вечером ребята встретились у костра и, поразмышляв, решили перераспределить съестное между собой. Назовем распределение кокосов и рыбы неэффективным, если ребята могут перераспределить продукты таким образом, что никому не станет хуже и хотя бы одному из них станет лучше. В противном случае будем называть распределение между ребятами эффективным. Является ли распределение суммарного запаса продуктов ${(x ,y ) = (9,6),(x ,y ) = (6,9)} 1 1 2 2$ эффективным? А распределение ${(x1,y1) = (6,9),(x2,y2) = (9,6)}$ ?

б) Назовем $M$ множество всех распределений съестного, удовлетворяющих критерию эффективности. Определите множество $M$ .

в) Джон предложил распределить съестное таким образом, чтобы суммарное благосостояние $U = U1 + U2$ было максимальным. Если Боб согласится на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?

г) Боб, поразмышляв некоторое время, предложил так распредилить блага, чтобы величина $U = min [U1, U2]$ была максимальной. Если Джон согласиться на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94275

У Гены есть 10 билетов в Театр - обозначим их за $x$ и в 20 билетов в Кино - обозначим их за $y$ . Гена хочет сходить в Кино с Чебурашкой и даёт ему k билетов в Кино . Но потом Чебурашка, находясь в чемодане, вдруг находит билеты в Театр и забирает себе t билетов. Полезеность Чебурашки можно определить функцией $U = 28t− t2 − tk$ . Полезеность Гены можно определить функцией $U = xy + √xy-$ , где x и y оставшиеся билеты у Гены. Узнайте сколько в оптимуме Гена даст билетов в Кино Чебурашке

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: 14 билетов в Кино

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#114320

Найдите долгосрочное равновесие в модели Курно с издержками каждой фирмы

( { q2i + 10, qi > 0 T Ci = ( 0, qi = 0.

Отраслевой спрос описывается как $Pd = 60 − Q$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127566

Два друга, Алексей и Борис, страстные фанаты футбола и любители ставок. Сегодня играют их любимые команды: «Торпедо» и «Динамо». Алексей считает, что «Торпедо» выиграет с вероятностью $ρ1$ , а «Динамо» – с вероятностью $1 − ρ1$ . Борис же уверен, что «Динамо» победит с вероятностью $1 − ρ2$ , а «Торпедо» – с $ρ2$ . Они решают заключить пари: Алексей ставит $x$ рублей на «Торпедо», Борис ставит $y$ рублей на «Динамо». Оба друга стремятся максимизировать ожидаемую полезность, которая вычисляется по формуле:

Eu = ρ(1)√w1-+ ρ(2)√w2,-

где $wi$ – богатство, которым владеет агент с вероятностью $ρ(i) ∈ [0,1]$ .

Первоначальное богатство Алексея – $w1$ , Бориса – $w2$ рублей.

а) Найдите оптимальные ставки $x∗$ и $y∗$ для Алексея и Бориса. При каких условиях они согласятся делать ставки?

б) Существует ли равновесие Нэша в этой игре? Если да, то при каких соотношениях $ρ1$ , $ρ2$ , $w1$ и $w2$ ?

в) Предположите $w1 = w2$ и качественно проинтерпретируйте условие равновесия для этого случая.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#137493

Боб(агент 1) и Джон(агент 2) очутились на необитаемом острове. Ребятам приходится питаться рыбой( $x$ ) и кокосами( $y$ ), которыми Боб владеет в размере $(x1,y1) = (5,10)$ , а Джон – в размере $(x ,y ) = (10,5) 2 2$ .

a) Вечером ребята встретились у костра и, поразмышляв, решили перераспределить съестное между собой. Назовем распределение кокосов и рыбы неэффективным, если ребята могут перераспределить продукты таким образом, что никому не станет хуже и хотя бы одному из них станет лучше. В противном случае будем называть распределение между ребятами эффективным. Является ли распределение суммарного запаса продуктов ${(x1,y1) = (9,6),(x2,y2) = (6,9)}$ эффективным? А распределение ${(x1,y1) = (6,9),(x2,y2) = (9,6)}$ ?

Показать ответ и решение

а) Сравним распределение ${(x1,y1) = (9,6),(x2,y2) = (6,9)}$ и ${ (x1,y1) = (7.5,7.5),(x2,y2) = (7.5,7.5 )}$ . Заметим, что для Боба эти распределения безразличны, а для Джона второе лучше, т.к. $6 ⋅ 9 < 7.5 ⋅ 7.5$ . Таким образом, мы нашли Парето-улучшение для рассматриваемого распределения, значит ${(x1,y1) = (9,6),(x2,y2) = (6,9)}$ неэффективно. Аналогично можно показать и для ${(x1,y1) = (6,9),(x2,y2) = (9,6)}$ : распределение ${(x1,y1) = (7.5, 7.5),(x2,y2) = (7.5,7.5)}$ будет и для него Парето-улучшением, поэтому и на второй вопрос отвечаем «неэффективно».

б) Если Боб потребляет $x1$ , то игрека он потребит $y1 = U1 − x1$ . В этом случае для Джона останется $x2 = 15 − x1$ и $y2 = 15 − (U1 − x1) = 15 − U1 + x1$ . Рассчитаем полезность: $U2 = (15 − x1)(15 − U1 + x1)$ – относительно $x1$ данная функция парабола с ветвями вниз, а значит максимум в вершине. Вершину можно найти как среднее арифметрическое корней уравнения $U2 = 0$ :

15 + U1 − 15 U1 x∗1 = ------------- = --- 2 2

Тогда $U U y1 = U1 − 21 = -12$ . В этом случае Парето-оптимально $x1 = y1$ , учитывая то, что после перераспределения каждому должно стать не хуже, а значит $U ≥ 5 + 10 = 15 1$ , $U ≥ 5 ⋅ 10 = 50 2$ . Рассчитаем при каких $x1$ это реализуется: $x1 + y1 ≥ 15$ с учетом $x1 = y1$ : $x1 + x2 ≥ 15$ получаем $x1 ≥ 7.5$ . Ограничение для Джона: $2 U2 = x2y2 = (15 − x1)(15 − y1) = (15 − x1) ≥ 50$ , тогда $√ -- x1 ≤ 15 − 5 2$ .

Ответ:

эффективно $x1 = y1$ ( $x2 = y2$ ), если $√ -- 7.5 ≤ x1 ≤ 15 − 5 2$ .