.01 Линейные диф. уравнения высших порядков

1. Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Для него составляем характеристическое уравнение

Его корнями будут . Следовательно, общее решение однородного имеет вид

2. Мы видим, что правая часть нашего исходного неоднородного уравнения имеет вид

где , . Поэтому частное решение неоднородного будем искать в виде

где - многочлены с неопределенными коэффициентами степени , где , - кратность как корня характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Поскольку , а является корнем нашего характеристического уравнения кратности 1, то . должно быть максимальной степенью из и . В нашем случае - нулевой многочлен, - константа, поэтому и - константы.

Итого, частное решение неоднородного будем искать в виде

,
. Чтобы найти , подставляем в исходное неоднородное уравнение:

Приравнивая теперь коэффициенты при и в левой и правой части, получаем систему уравнений на и :

Откуда , . Таким образом, . Откуда общее решение неоднородного имеет вид:

Ответ: