.06 Предельные теоремы. ЗБЧ. Теорема Пуассона. ЦПТ.

1. Это более-менее очевидно. Поскольку для любого фиксированного выполнено, что

то последовательность в каждой точке сходится, а, значит, и сходится почти наверное к нулевой случайной величине.

2. Вспомним, что функция распределения тождественного нуля равна:

А чему будут сходиться функции распределения ?

Давайте посмотрим, как выглядит функция распределения .

Итак,

Эта последняя вероятность равна длине той части отрезка, которая находится правее , при условии, что мы вообще попали в наш полуинтервал, то есть при условии, что , то есть что . Если же , то таких просто не найдется и эта вероятность равна 0.

Таким образом,

К чему же это все сойдется при стремящемся к бесконечности? Ясно, что сойдется это к вот такой функции

И что-то эта предельная функция распределения не совсем та же самая, что функция распределения тождественного нуля .

А именно, в точке разрыва этой последней у нас и нет сходимости .

Именно поэтому в определении сходимости по распределению и требуют сходимости функций распределения только в точках непрерывности предельной функции. Иначе нам пришлось бы отказаться от сходимости по распределению даже в таких простецких и наглядных примерах как этот.