.20 Признак Абеля-Дирихле для несобственных интегралов.

У нашего интеграла 2 особенности: одна связана с тем, что подынтегральная функция неопределена на нижнем пределе интегрирования (т.е. в нуле) - это особенность II рода. Другая же связана с неограниченностью промежутка интегрирования.

В таком случае интеграл разбивают произвольной точкой на сумму двух интегралов (возьмём, к примеру, точку 1):

И говорят, что исходный интеграл сходится в случае, если сходятся оба ; если же один из них сходится, а другой расходится, то по определению расходится. В случае же расходимости обоих и , ничего сказать нельзя.

1. Исследуем . Вспомним, что по первому замечательному пределу

Поэтому . А значит, - бесконечно малая при . Интеграл давайте исследуем по критерию Коши.

Он будет сходиться, если

Итак,

(Вместо можно было бы взять любую другую сколь угодно малую константу, поскольку мы рассматриваем интегралы от до , где и близки к нулю. А наша подынтегральная функция стремится к нулю при , следовательно, её модуль меньше любой сколь угодно малой константы в достаточно маленьких окрестностях нуля.)

И если взять достаточно близкое к , то и и подавно будут близки к 0, поскольку они оба меньше , а значит может быть сделано меньше любого . Следовательно, - сходится.

2. Исследуем . Давайте по формуле понижения степени распишем квадрат синуса как . Тогда можно представить в виде:

2.1. Исследуем .

Следовательно, - расходится.

2.2. Исследуем . Пусть . Тогда очевидно, что монотонно стремится к 0 при . Пусть . Тогда имеет ограниченную первообразную на :

Следовательно, сходится по признаку Дирихле.

Но тогда получается, что есть сумма расходящегося и сходящегося , таким образом, расходится. Но тогда исходный интеграл есть сумма сходящегося и расходящегося . Следовательно, исходный интеграл - расходится.