.20 Признак Абеля-Дирихле для несобственных интегралов.

Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл

Этот интеграл, сходится он или расходится, в любом случае по определению равен пределу .

Давайте покажем, что если идти по точкам вида , то такого предела существовать не будет. Откуда будет следовать, что и никакого предела при произвольном стремлении не существует.

Для удобства оценки, давайте оценивать интегралы, начинающиеся не от единицы, а от нуля, то есть - поскольку мы лишь добавили сходящийся абсолютно интеграл - он ни на что не повлияет (подынтегральная функция, хотя и не определена в нуле, но ограничена на , поэтому по критерию Коши легко доказать абсолютную сходимость интеграла ).

Итак, рассмотрим . Тогда:

Но на отрезке функция . Следовательно, можно оценить

Итак, с учётом этого, продолжим:

Но можно вычислить, и он равен 4 (вычисляем =2, и в силу симметричности графика умножаем на 2.)

Откуда в конце концов получаем:

Однако ряд - расходится, поскольку , а ряд расходится как эталонный. Следовательно, по теореме сравнения ряд - расходится.

Но наш предел , как мы показали, и того больше. Следовательно, , то есть исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к ).