.20 Признак Абеля-Дирихле для несобственных интегралов.

Нам нужно исследовать, сходится ли интеграл от модуля функции , т.е. сходится ли интеграл

Сделаем замену . При этой замене промежуток переходит в . . Имеем:

Далее, поскольку , то при любом . Следовательно,

Но интеграл

разбивается на сумму двух интегралов (поскольку )

При этом расходится, так как

А интеграл сходится:

Пусть . Тогда, во-первых, . Видим, что при больших знаменатель положителен, а числитель есть произведение положительного на отрицательную скобку , то есть при больших (если быть точным, при ) - то есть производная всегда одного знака, начиная с , следовательно, при функция - монотонна.

Нетрудно усмотреть, что

(мы дважды воспользовались правилом Лопиталя).

Таким образом, - монотонно стремится к нулю при .

Далее, - имеет ограниченную первообразную на , поскольку

Таким образом, есть сумма расходящегося и сходящегося интегралов. Следовательно, - расходится.

Но в силу неравенства

И расходимости , делаем вывод, что расходится и .

Следовательно, исходный интеграл абсолютно не сходится (расходится к ).