.20 Признак Абеля-Дирихле для несобственных интегралов.

Преобразуем для удобства нашу подынтегральную функцию:

Тогда пусть , .

1. Покажем, что, во-первых, у - ограниченная первообразная на :

2. При : (по таблице эквивалентностей при . ).

Следовательно, при стремится к 0. Более того, это стремление монотонное, коль скоро:

Знаменатель всегда неотрицательный, а числитель:

Первый сомножитель неотрицателен при . А вот в скобках при : - неположительная величина при достаточно больших и . Следовательно, монотонно стремится к нулю при и . Таким образом, по признаку Дирихле исходный интеграл сходится при .

3. При видно, что даже не стремится к нулю. Её предел при равен либо 1 (при ), либо (при ). Так или иначе, но и в том и в другом случае, для достаточно больших можно написать оценку, что (вместо можно было бы взять любую положительную константу).

Давайте по критерию Коши покажем, что при наш интеграл расходится. Для этого достаточно найти такое , что при любом найдутся такие, что

Но при достаточно большом давайте будем в качестве и брать участки неотрицательности . То есть, какое бы большое нам ни дали, мы найдём такое , что , были бы оба больше, чем . И Тогда получим оценку:

Следовательно, при исходный интеграл расходится по критерию Коши.