.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать последовательность 
на равномерную сходимость на множестве 
:
![fn(x) = xn − xn+1, E = [0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/261043/index-6d7cc4a441d3d533285ab3b3df5e21a2.svg)
Ясно, что в каждой точке отрезка ![[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/261296/index-e3de236352c49a42eb95a13be937c61e.svg)
имеется поточечная сходимость 
к нулю. Осталось
выяснить, сходится ли 
к тождественно нулевой функции 
равномерно на ![[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/261296/index-db32a434699750cd6562a31bae58eba2.svg)
.
Для исследования на равномерную сходимость будем пользоваться 
критерием.
![т.к. все fn(x)≥ 0
sup |fn(x)− 𝒪 (x)| = sup |fn(x)| = sup fn(x)
x∈[0,1] x∈[0,1] x∈[0,1]](/api/latex-service/v1/GetSession/261296/index-172b67626fd2ac06703371b23b86039b.svg)
Этот супремум для каждой 
- на самом деле просто максимум, и он обязательно
достигается на отрезке по теореме Вейерштрасса, так как все 
- непрерывны на отрезке.
А в силу того, что все они дифференцируемы, точка максимума - либо конец отрезка (что точно
невозможно, потому что на концах отрезка все 
равны нулю), либо внутренняя точка отрезка, в
которой производная 
обнуляется - по лемме Ферма.
Нули производной - это точка 0 и точка 
. Нетрудно убедиться, что 
- точка максимума.
Следовательно, ![xs∈u[0p,1]fn(x) = fn(nn+1) = (nn+1)n − (nn+1)n+1](/api/latex-service/v1/GetSession/261296/index-e883ff309e56d77a60c65639e005bfa3.svg)
.
Таким образом,
![lim sup f (x) = lim ((--n--)n − (--n--)n+1) =
n→∞ x∈[0,1] n n→ ∞ n + 1 n + 1](/api/latex-service/v1/GetSession/261296/index-cba439ed8a7a57d4f28f86cb2fbecf57.svg)
Следовательно, по 
критерию,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
