.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Преобразуем слегка :

Ясно, что в каждой точке имеется поточечная сходимость к . Осталось выяснить, сходится ли к равномерно на .

Для исследования на равномерную сходимость будем пользоваться критерием.

Но первая дробь всегда меньше второй, поэтому

Далее,

Но ясно, что при каждом конкретном эта дробь может быть сделана сколь угодно большой за счет того, что в знаменателе может быть сделан сколь угодно близко к нулю. Ведь при каждом конкретном фиксированном

(так как первый сомножитель при фиксированном - бесконечно мал, а второй , очевидно, ограничен).

Следовательно, при знаменатели наших дробей стремятся к нулю, значит дроби стремятся к бесконечности. Следовательно, для каждого

Следовательно, по критерию,

где .