.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Это неверно. Рассмотрим, например, функциональную последовательность . Эта последовательность функций сходится в каждой точке отрезка , причём предельной функцией будет .

И мы видим, что предельная функция не дифференцируема в точке 1, потому что она в точке 1 даже не непрерывна.

Но все наши допредельные функции были для каждого всюду дифференцируемы на отрезке :

Значит, при поточечной сходимости, даже если все допредельные функции были всюду на отрезке дифференцируемы, то в пределе может получиться не всюду на отрезке дифференцируемая функция. Поэтому поточечный предел не обязан сохранять дифференцируемость, и в таком случае бессмысленно говорить о том, что мы можем поменять местами предельный переход по и взятие производной - в пределе никакой производной всюду на отрезке существовать и не обязано.