.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Это неверно. Давайте возьмём в качестве (при каждом ). Тогда, очевидно, , поскольку у нас вообще нет зависимости от и не просто сходится, а вообще всюду равна предельной функции .

Пусть . Тогда ясно, что ( - тождественно нулевая на функция). То что в каждой точке сходится к нулю при - это очевидно. А то что сходимость равномерная по , следует просто-напросто из того, что у нас нет никакой зависимости от . В таком случае разумеется поточечная и равномерная сходимость - это одно и то же.

Однако их произведение не сходится равномерно на к произведению , то есть к нулевой функции.

Действительно, равномерная сходимость на к нулевой функции по критерию эквивалентна тому, что .

Однако при каждом , и, значит, не стремится ни к какому нулю при .