.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Обозначим через ту функцию, к которой последовательность производных сходится равномерно на .

Поскольку нам по условию дано, что все производные - непрерывны всюду на , а сходимость - равномерная, то по теореме о непрерывности равномерного предела непрерывных функций, предел у последовательности производных - тоже всюду непрерывна на .

Следовательно, , как и всякая непрерывная на функция, будет интегрируемой по Риману на . Точно так же, поскольку по предположению все - непрерывны на , они будут интегрируемы по Риману на .

Пусть - произвольная точка из . Тогда, поскольку , то по теореме о почленном интегрировании функциональной последовательности, будем иметь:

Но по теореме Ньютона-Лейбница, . Таким образом, получаем:

Но при , , ведь , а значит есть как минимум сходимость поточечная.

Таким образом, получили соотношение

Далее, поскольку мы потребовали, чтобы , то есть равномерный предел производных, была бы непрерывна на , то из этого следует, что интеграл с переменным верхним пределом, то есть - дифференцируема всюду на . Но тогда и правая часть, то есть - дифференцируема в каждой точке . И мы доказали, первую часть нашего утверждения, а именно то, что , которая была равномерным пределом - всюду дифференцируема на .

Давайте теперь в равенстве возьмём производные от левой и правой части и получим:

Следовательно, производная для в каждой точке совпадает с равномерным пределом производных для . И мы доказали, что .