.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Ясно, что в каждой точке отрезка - поскольку в числителе будет какая-то константа, а знаменатель будет стремиться к бесконечности.

Но равномерная ли эта сходимость?

Поскольку

И , то, перенося в правую часть неравенства, получим, что для всех и для всех выполнено . Следовательно, при и при всех будет . Таким образом,

А поэтому будет сходиться равномерно к нулю на - ведь какое бы нам ни дали, мы всегда можем найти такое , что при всех и при всех - поскольку достаточно находить такое так, чтобы при всех . Тогда и - абсолютно для всех .