.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Давайте сначала поймём, к чему поточечно сходится на отрезке .

Нас интересует, к чему это стремится при каждом фиксированном при .

Давайте временно заменим на и посмотрим, к чему стремится при . Для этого сделаем замену , :

И мы имеем в любой точке неопределенность вида при .

Применяем правило Лопиталя:

Следовательно, при выполнено . А значит, и если мы будем брать только натуральные игреки, то есть обратно заменим на , то тоже, в частности, получим, что при любом : .

Таким образом, имеем поточечную сходимость. Но будет ли она равномерной?

Мы исследуем на равномерную сходимость на любом отрезке . На любом таком отрезке предельная функция непрерывна, а также непрерывны допредельные функции для любого .

Кроме того, при каждом фиксированном функция возрастает по : поскольку - убывает по при каждом фиксированном , следовательно, - возрастает по при каждом фиксированном .

Следовательно, выполнено все условия теоремы Дини, а, значит, сходимость к на каждом отрезке - равномерная.