.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.

1. Найдём для начала радиус сходимости нашего степенного ряда.

Вычислим предел , в нашем случае . Будем иметь:

Таким образом, радиус сходимости равен . Значит, наш степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

2. Исследуем сходимость ряда в концах интервала, то есть в точках .
В точке наш ряд превращается в ряд - и он сходится как эталонный.
В точке наш ряд превращается в ряд - и он сходится по признаку Лейбница - поскольку он является знакочередующимся рядом вида , где в нашем случае - монотонно убывая стремится к нулю.

Итого, мы можем заключить, что наш ряд сходится на отрезке .