.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.

1. Найдём для начала радиус сходимости нашего степенного ряда.

Вычислим предел , в нашем случае . Будем иметь:

Таким образом, радиус сходимости равен . Значит, наш степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

2. Исследуем сходимость ряда в концах интервала, то есть в точках .
В точке наш ряд превращается в ряд

Легко видеть, что общий член ряда удовлетворяет соотношению

Что означает, что . То есть каждый следующий член ряда больше предыдущего. А в силу неотрицательности всех членов из этого очевидно следует, что при . Следовательно, не выполнен даже необходимый признак сходимости - общий член ряда в точке не стремится к 0. Следовательно, в точке ряд расходится.

В точке наш ряд превращается в ряд

Теперь же, если мы возьмём модули членов нашего ряда , то получим последовательность, которую исследовали при , то есть . Но мы уже выяснили, что при . То есть члены нашего ряда по модулю не стремятся к нулю. Но значит они и просто не стремятся к нулю (сходимость последовательности к нулю и сходимость модуля последовательности к нулю эквивалентны).

Таким образом, в точке вновь не выполнен необходимый признак сходимости - члены ряда в точке даже не стремятся к 0. Следовательно, в точке ряд расходится.

Итого, мы можем заключить, что наш ряд сходится на интервале .