.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.

1. Найдём для начала радиус сходимости нашего степенного ряда.

Вычислим предел , в нашем случае . Будем иметь:

Таким образом, радиус сходимости равен . Значит, наш степенной ряд сходится абсолютно в интервале (поскольку центр ряда был в точке ).

2. Исследуем сходимость ряда в концах интервала, то есть в точках , .
В точке наш ряд превращается в ряд

(поскольку и всегда имеют противоположный знак, в силу того, что и всегда имеют разную чётность, то в произведении они всегда дают минус единичку)

А ряд расходится как эталонный (его члены имеют тот же порядок, что и члены гармонического ряда , и можно применить признак сравнения).

В точке наш ряд превращается в ряд

И он сходится по признаку Лейбница, поскольку он является знакочередующимся рядом вида , где в нашем случае - монотонно убывая стремится к нулю.

Итого, мы можем заключить, что наш ряд сходится на полуинтервале .