.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.

a) Найдём радиус сходимости нашего степенного ряда.

Вычислим предел , в нашем случае . Будем иметь:

Таким образом, радиус сходимости равен . Значит, наш степенной ряд сходится абсолютно в интервале , то есть на всём .

b) Из формулы Тейлора ясно, что наш ряд представляем собой тейлоровское разложение экспоненты. То есть всюду на он сходится к :

Таким образом, для равномерной сходимости нужно, чтобы последовательность частичных сумм ряда сходилось равномерно к , то есть чтобы

Но по -критерию это равносильно тому, чтобы

Однако

(супремум по меньшему множеству может стать разве что меньше).

Но

Поскольку при будет стремиться к бесконечности быстрее многочлена любой сколь угодно большой степени.

Таким образом, при , а значит и тем более при .

Значит, по -критерию, на , а, значит, и на равномерной сходимости у ряда нет.