.29 Функциональные ряды. Степенные ряды.

Давайте попробуем оценить сверху члены нашего ряда членами какого-то равномерно сходящегося ряда. Если нам это удастся, то исходный ряд будет сходиться равномерно из признака Вейертштасса равномерной сходимости (о мажорирующей сходимости).

Пусть . При каждом фиксированном давайте найдём супремум при .

Для этого давайте возьмём производную и приравняем её к нулю:

Таким образом, у ой функции производная зануляется при , то есть при в точке .

Нетрудно проверить, что при функция достигает максимума (это единственный ноль производной , а при и при видно, что все стремятся к нулю (по степень знаменателя больше степени числителя). Следовательно, - это точки максимума соответствующих .)

Таким образом, можно записать оценку для всех и для всех :

А ряд

сходится как эталонный - причём он сходится равномерно на , поскольку вообще не зависит ни от какого .

Таким образом, из признака Вейертштасса равномерной сходимости следует, что ряд

сходится равномерно на .