Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Источники:
Подсказка 1
Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)
Подсказка 2
Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.
Подсказка 3
Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?
Подсказка 4
Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.
После замены 
нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения
Первое решение.
Построим графики
в координатах 
и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области 
ровно в трёх
точках:
Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными
касательными к параболам являются прямые 
и 
. Пересекаются параболы при
При 
получаем
При 
получаем
Второе решение.
Заметим, что в случае наличия корней у уравнений
и
их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть 
положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы
положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не
может.
Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов
При 
среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один
положительный и один отрицательный.
Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках
совпасть, то есть при одном и том же 
верно
Отсюда
Эти значения исключим из ответа.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
