Тема Задачи с параметром

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79187

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 sin x+ asinx =a − 1

имеет решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь просится очевидная замена t = sinx. Тогда, у нас получается квадратное уравнение на t, которое должно иметь решение на отрезке [-1; 1]. Это значит, что нам надо рассмотреть два случая в соответствии картинкам, которые будут получаться. То есть либо у нас отрезок, который создается корнями, лежит внутри отрезка [-1, 1], либо не лежит, но при этом не содержит. Осталось задать условия на оба наших случая.

Подсказка 2

Самый сложный случай - первый. Потому как много условий. Во-первых, значения на концах отрезка больше нуля, чтобы задать этим возможность наличия двух корней, во-вторых, вершина должна лежать на отрезке (чтобы не было ситуации, когда у нас вершина уехала в какую-то из сторон, а тот факт, что на концах больше давал лишь то, что эта ветка параболы на всем отрезке больше 0), а в-третьих, D ≥ 0, чтобы были корни (или корень)

Подсказка 3

А второй случай прост - надо лишь задать, что на концах отрезка парабола принимает разные по знаку значения (нужно еще разобраться с нулем). Тогда остаётся решить две этих системы, объединить, а потом пересечь с [-1; 1] и записать ответ.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $sinx =t, −1 ≤t≤ 1:$

2 2 t + at− a + 1= 0

Нужно, чтобы это квадратное относительно $t$ уравнение имело хотя бы один корень из отрезка $[−1;1].$

Ровно один корень на этом отрезке уравнение имеет в случае, когда значения функции $f(t)=t2+ at− a2+ 1= 0$ на концах отрезка имеют разные знаки (допускается при этом, чтобы одно или оба значения были равны нулю, тогда корни уравнения будут в точках -1 или 1):

f(− 1)⋅f(1)≤0

(1− a− a2+ 1)(1+a − a2+ 1)≤0

(a+ 2)(a− 1)(a− 2)(a+1)≤ 0

(a2− 1)(a2− 4)≤ 0

1≤ a2 ≤4

А также один корень (в случае нулевого дискриминанта, когда вершина касается оси и лежит на отрезке) или два корня на отрезке будет при условиях

( ||||{ y(− 1) >0 y(1)> 0 ||||( tверш ∈ [−1;1] D ≥0

(| 1− a − a2+ 1> 0 |||{ 2 | 1+a − aa + 1> 0 |||( −21≤ −22 ≤1 a +4a − 4≥ 0

( ||| −2< a< 1 |{ −1< a< 2 ||| −2≤(a≤ 2 √ ] [ √- ) |( a∈ −∞;− 255 ∪ 255;+∞

( ∘ -] [∘ --) a ∈ − 1;− 4 ∪ 4;1 5 5

Итого решения из $[−1;1]$ есть при

[ ∘ -] [∘ --] a∈ − 2;− 4 ∪ 4;2 5 5

Ответ:

$[ ∘4] [∘ 4- ] − 2;− 5 ∪ 5;2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88175

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 x − 6ax+ 2− 2a+ 9a = 0

имеет корни, причём все корни больше трёх.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуем график! Мы знаем, что это парабола ветвями вверх. Какие необходимые и достаточные условия нужно наложить на график, чтобы оба корня нашего уравнения были больше 3?

Подсказка 2

Абсцисса вершины параболы должна быть правее 3; дискриминант больше нуля; значение в точке 3 положительно

Подсказка 3

У нас получилась система из трёх уравнений относительно а, осталось лишь решить её и получить область возможных значений параметра!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.

Если $D =0,$ уравнение имеет единственный корень, который совпадает с $xвершины.$

$PIC$

Если $D >0,$ то уравнение имеет два корня. При условии, что оба корня $> 3,$ график выглядит так:

$PIC$

Условия на параболу, фиксирующие оба подходящих случая, можно записать системой:

( |{ D ≥0 | x(верш) >3 ( y(3)> 0

Подставим выражения для дискриминанта, абсциссы вершины и значения в точке $x= 3:$

( |{ 36a2 − 4(2− 2a+ 9a2)>0 |( 3a> 3 9− 6a⋅3+2 − 2a+ 9a2 >0

( |{ 8a− 8> 0 |( a >21 9a − 20a +11> 0

Решение системы:

11 a> 9

Ответ:

$(11;+∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88176

При каких $a$ неравенство

2 ax + (a+1)x− 3< 0

выполняется при всех $x < 2$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу видно, что у нас меняется старший коэффициент, а значит, нам нужно разобрать 3 случая для параметра: а=0, а>0, а<0

Подсказка 2

Случай с а=0 разбирается достаточно просто, попробуйте это сделать самостоятельно, во втором случае к чему стремится функция, если х->-∞?

Подсказка 3

Настало время разобраться и с третьим случаем. Тут возникают 3 подслучая со значениями D. При D<0 что можно сказать про значение? Правильно, оно всегда отрицательное, а значит, этот случай нам подходит

Подсказка 4

Если D=0, то парабола касается оси абсцисс. Если вершина параболы находится в промежутке (-∞, 2), то что можно сказать про значение в вершине?

Подсказка 5

Верно, оно будет равно 0, а значит, нам нужно взять промежуток, когда вершина параболы не попадает на промежуток х<2.

Подсказка 6

Разберем 3 подслучай, где D>0. Ограничим вершину параболы таким же промежутком, как и в прошлом подслучае, а также нам нужно, чтобы f(2) был не больше 0, иначе для некоторых х неравенство выполняться не будет

Показать ответ и решение

$1)$ Если $a =0,$ то неравенство становится линейным:

x− 3< 0

Это неравенство выполнено при всех $x< 2,$ поэтому $a= 0$ нам подходит.

$2)$ Если $a> 0,$ то парабола $y = ax2+(a+ 1)x − 3$ будет иметь ветви, направленные вверх. Тогда неравенство выполняется не для всех $x <2$ (при $x→ −∞ y(x)→ +∞$ )

$3)$ Если $a< 0,$ то парабола $y = ax2+ (a +1)x− 3$ будет иметь ветви, направленные вниз. Рассмотрим дискриминант этого квадратичного трехчлена

2 2 D= (a+ 1) − 4⋅(− 3)⋅a =a + 14a+1

1.

Если $D < 0,$ то парабола находится ниже оси абсцисс. Тогда неравенство $ax2+ (a+ 1)x− 3< 0$ выполнено при любых $x,$ в частности, при всех $x< 2.$

$PIC$

Решая квадратное неравенство $a2+ 14a+ 1< 0$ получаем $a∈ (− 7− 4√3;−7 +4√3).$

2.

Если $D = 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x(верш) ≥2.$

$PIC$

То есть

− a+2a1≥ 2

Условие на вершину будет выполнено только для корня дискриминанта, равного $− 7+4√3.$

3.

Если $D > 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x ≥2, (верш)$ а также $y(2)≤ 0.$

$PIC$

Эти условия задаются системой:

( ||||{ a< 0 D > 0 ||||( x(верш) ≥2 y(2)≤ 0

Решая систему, получим $√- a∈ (−7+ 4 3;0)$

В итоге, получаем ответ:

√- a ∈(−7− 4 3;0]

Ответ:

$a ∈(−7− 4√3;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88267

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 x − (2a− 1)x+ 4− a= 0

имеет два корня, между которыми заключено число 3.

Подсказки к задаче

Подсказка

У вас есть парабола. Куда направлены её ветви? Для наглядности, можете нарисовать рисунок и посмотреть: какое ограничение на f(3) надо наложить, чтобы точка x = 3 заключалась между корнями?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

2 y = x − (2a− 1)x +4− a

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:

$PIC$

Значит, необходимо:

16 y(3)< 0 ⇒ a> 7-

Ответ:

$a ∈( 16;+∞ ) 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88268

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства

2 2 2 x − (a − 2a− 3)x+ a +2 ≤0

является отрезок $[2;3]?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами парабола — что можно сказать про её график? Куда направлены ветви такой параболы?

Подсказка 2

Нужно разобраться с условием на f(2) и f(3): какими должны быть эти значения, чтобы решением был именно отрезок [2; 3]? Ещё, конечно, можно поставить условие на дискриминант, но может оно нам и не необходимо?

Показать ответ и решение

Рассмотрим множество функций

2 2 2 fa(x) =x − (a − 2a− 3)x +a + 2

При каждом фиксированном $a$ это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. При этом она может выглядеть как (1) $(D = 0),$ (2) $(D > 0)$ или (3) $(D< 0):$

$PIC$

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок $[2;3],$ необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть необходимо выполнение следующих условий:

(| 2 2 2 ||{ D =(a − 2a − 3) − 4(a + 2)> 0 || fa(2)= 0 |( fa(3)= 0 ( |||{ (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 a2− 4a − 12= 0 |||( a2− 3a − 10= 0 ( { (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 ( a= −2

Заметим, что при $a= −2$ неравенство $(a2− 2a − 3)2− 4(a2+2)> 0$ выполняется, так как оно равносильно $1> 0.$ Следовательно, получаем

a ∈{−2}

Замечание.

Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии $f (2)= f (3)= 0, a a$ поскольку квадратный трехчлен имеет два корня $x = 2$ и $x =3.$

Ответ:

$a ∈{−2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88877

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 x − ax +2 =0

имеет корни, причём все корни лежат на интервале $(0;3).$

Показать ответ и решение

Положим $f(x)= x2− ax+ 2.$

Во-первых, по условию, $f(x)$ имеет корни, следовательно, дискриминант $2 D =a − 8$ неотрицателен. Таким образом, $√- |a|≥ 2 2.$

Во-вторых, старший коэффициент $f(x)$ равен 1, следовательно, ветви параболы, которую она задает, направлены вверх. Заметим, что парабола, имеющая ветви вверх, принимает отрицательные значения при тех и только тех значениях аргумента, которые лежат строго между ее корнями. В этом случае, парабола имеет вид:

$PIC$ $PIC$

Так, $f(x)$ не может принимать неположительные значения в точках 0 и 3. Иными словами, $f(0)= 2> 0$ и $f(3)= 9− 3a+ 2> 0,$ то есть $a< 11. 3$

В-третьих, необходимо, чтобы каждый из корней лежал в интервале $(0,3),$ для этого, при условии $11 a< -3 ,$ достаточно, чтобы вершина парабола имела абсциссу $xв,$ значение которое лежало бы на отрезке от 0 до 3. Cледовательно, парабола имеет вид:

$PIC$

Таким образом, $0< a <3, 2$ то есть $0< a< 6.$

Объединяя множество значений, полученных в каждом из предыдущих пунктов: $√- 11 2 2≤ a< -3 .$

Ответ:

$[2√2;11) 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31148

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 (a− 2)x + 2(a− 2)x +2= 0

не имеет корней.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы имеем задачу с квадратным трехчленом и коэффициент перед x^2 является переменной, то что первым делом нужно сделать?

Подсказка 2

Конечно, проверить может ли он быть равен нулю, и что будет, если он равен 0. В данном случае, если он равен 0, то выходит, что и перед х коэффициент равен 0, а значит выходит уравнение 2=0, которое корней не имеет. Но если а не равно 2, то что делать? Когда квадратное уравнение не имеет корней?

Подсказка 3

Да, квадратное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше 0. Осталось решить это неравенство и получить ответ!

Показать ответ и решение

Если $a =2$ , то уравнение превращается в $2= 0$ — корней ней, значит, $a= 2$ нам подходит.

Если $a⁄= 2$ , то перед нами квадратный трёхчлен. У него нет корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше нуля.

Дискриминант трёхчлена из уравнения равен

2 4(a− 2) − 8(a− 2)= 4(a− 2)(a − 4),

значит, нам подойдут $a∈ (2;4)$ .

Ответ:

$[2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31275

При каких $a$ корни уравнения

2 x +2(a− 2)x− 4a+ 5= 0

различны и оба больше $− 1$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понимаем, что перед нами квадратное уравнение) У нас присутствуют какие-то ограничения, связанные с корнями... Тогда для начала попробуем понять, какие же условия на количество корней следуют из условия задачи и как их учесть?

Подсказка 2

Нам нужно 2 различных корня, поэтому следует записать условие на положительность дискриминанта! Благодаря этому мы

Подсказка 3

Обратить внимание на ветви параболы и сделать вывод о том, левее или правее от -1 находится вершина параболы? А еще понять, какое значение парабола принимает в -1!) Тогда мы сможем наложить еще ограничения на a и пересечь области!

Показать ответ и решение

Для наличия двух различных корней нужна положительность дискриминанта, то есть $0 <D ∕4= (a− 2)2 − (−4a+ 5)=a2− 1 ⇔ |a|>1$

Оба корня больше $− 1$ , если по оси абсцисс вершина параболы $x= 2− a$ находится правее точки $x= −1$ (тогда $3> a$ ) и значение параболы в точке $x= −1$ больше нуля: $2 (−1) +2(2− a)− 4a+ 5>0 ⇔ 10− 6a >0$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(1;5) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31276

При каких значениях $a$ один корень уравнения $ax2+ 2x+2a+ 1= 0$ меньше $1$ , а другой больше $1$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы не знаем, какой типа уравнения перед нами, поэтому какой-то случай мы разберем отдельно, а пока будем считать, что перед нами квадратное уравнение) У нас присутствуют какие-то ограничения, связанные с корнями... Тогда для начала попробуем понять, какие же условия на количество корней следуют из условия задачи и как их учесть?

Подсказка 2

Подсказка 3

Мы понимаем, что у нас 2 варианта расположения ветвей параболы, которые зависят от знака a. Тогда следует их разобрать по отдельности и записать условие на значение функции в 1.

Подсказка 4

В случае ветвей вверх значение в 1 должно быть меньше 0, в случае ветвей вниз f(1) > 0. Остается с помощью этих неравенств дать ограничения a и пересечь получившиеся области, не забыв про дискриминант :)

Показать ответ и решение

Сразу отбросим $a= 0$ , поскольку в этом случае всего один корень. Далее пусть $f(x)=ax2+ 2x+ 2a +1 =a(x− x)(x− x ) 1 2$ , где корни лежат по разные стороны от $1$ , если $a> 0$ , то это эквивалентно $f(1)= a+ 2+ 2a +1= 3a+ 3< 0⇐⇒ a < −1$ , если же $a< 0$ , то $f(1)> 0⇐ ⇒ a> −1$ , в итоге подходит только $a∈ (−1,0)$ . Осталось проверить условие наличия корней $2 D1 = 1− a(2a+1)= 1− 2a − a >0 ⇐⇒ a∈ (− 1,1∕2)$ .

Ответ:

$(−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31282

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x2− ax +2= 0$ имеет решения, лишь одно из которых удовлетворяет условию $1 <x <3$ ?

Показать ответ и решение

Для $D =a2− 8≥ 0$ нужно $|a|≥ 2√2-$ , пусть $f(x)=x2 − ax+ 2$ , всего возможны три случая:

1.: Есть всего один корень, то есть $a= ±2√2 =⇒ x= ±√2-∈(1,3)$ — единственный корень, тогда $a =2√2$ нам подходит, далее считаем $|a|> 2√2$ .
2.: Один из корней лежит на $(1,3)$ , а другой вне отрезка $[a,b]$ , что эквивалентно $f(1)⋅f(3)< 0$ , поскольку можно представить $f(x)$ в виде $f(x)= (x − x1)(x− x2)$ , где $x1 ∈(1,3),x2 ∈(−∞,1)∪ (3,+∞ )$ , если же это не так, то выражение будет либо нулём, когда есть корень $1$ или $3$ , либо положительно, так оба корни будут либо на интервале, либо вне интервала $(1,3)$ . То есть в этом случае $(1− a+2)(9 − 3a+ 2)= (3− a)(11− 3a)< 0$ , то есть $a∈ (3,11∕3)$ .
3.: Один из корней равен $1$ или $3$ , а второй лежит на интервале, если корень равен $1$ , то второй равен $2$ (их произведение равно 2), откуда $a =1 +2 =3$ , иначе второй корень равен $2∕3$ , он не лежит на интервале $(1,3)$ и не подходит, то есть $a =3$ .

Ответ:

${2√2}∪ [3,11) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#47916

Найдите все целые значения параметра $b$ , при каждом из которых все решения уравнения

5√-10 6√-6 (1+ 1∕b)⋅ x + (2 +1∕b)⋅ x + 1− 1∕b= 0

являются целыми числами.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим две вещи: х у нас встречается только в четной степени, а b всегда встречается в виде 1/b. Что это значит?

Подсказка 2!

Означает, что мы можем сделать замену. Получим квадратное уравнение, осталось рассмотреть его корни!

Показать ответ и решение

Первое решение. Запомним $b⁄= 0.$ Домножим на $b$ , раскроем скобки и вынесем $b$ :

( 2 ) 2 b⋅ x +2|x|+ 1 = 1− |x|− x

Можем разделить на положительную скобку, так как она равна $(|x|+1)2 ≥ 1$ :

x2+-2|x|− |x|+-1−-2 -|x|+-2- b=− (|x|+ 1)2 = −1+ (|x|+ 1)2 >− 1

С другой стороны, можно оценить и сверху

b= −1+ -|x|+-22 = −1 +-1-- +---1--2 ≤− 1+1 +1= 1 (|x|+1) |x|+1 (|x|+ 1)

Итак, при $b≤− 1$ или $b> 1$ решений у уравнения не может быть, тем более целых. А тогда про все решения уравнения можно утверждать что угодно, в частности что все решения являются целыми числами - утверждение верно (ведь мы не можем опровергнуть его, приведя такое решение, которое было бы нецелым).

Остаётся понять про $b =1$ . Проверкой убеждаемся, что тут решения есть, но все решения целые ( $2x2 +3|x|= 0 ⇐⇒ x= 0$ ), так что это значение тоже подходит.

То есть $b≤− 1,b≥ 1$ подходят. $b= 0$ не может быть. В итоге все целые значения $b$ , кроме $b= 0$ , подходят.

Второе решение.

После замены $t= |x|≥ 0$ и $a= 1 b$ , имеем квадратное уравнение относительно $t$ (кроме $a= −1$ , для которого условие выполнено)

2 2 2 2 (1+ a)t + (2 +a)t+1− a= 0, D = 4+ 4a +a + 4a − 4 =5a + 4a

Нам подойдёт случай $D < 0 ⇐⇒ a∈(− 4;0) 5$ , когда решений нет, потому что про элементы пустого множества решений любое утверждение верно, в частности, что любое решение является целым числом (это пример, что из ложной предпосылки следует что угодно, импликация из $0$ всегда истинна).

Отдельно рассмотрим $D = 0 ⇐⇒ a∈ {0,− 4} 5$ . Здесь получаем $t=− 1$ и $t= −3$ , что нас устраивает, поскольку решений относительно $x$ также нет.

Пусть теперь уравнение имеет два корня, тогда неотрицательные должны быть целыми, а отрицательные могут быть любыми. Рассмотрим случаи

Оба корня отрицательные, при $D > 0$ достаточно учесть условия на коэффициенты. То есть
${ t1⋅t2 = 1− a >0 ⇐ ⇒ a <1 t1+ t2 =− 2− a <0 ⇐ ⇒ a >− 2$
Имеем $a∈ (−2,− 45)∪ (0,1)$ .
Ровно один корень отрицательный. Тогда второй неотрицательный и целый, отсюда их произведение $1− a≤ 0 ⇐ ⇒ a≥1$ . Корни имеют вид $√----- t1,2 = −2−a±2+25aa2+4a$ . Знаменатель положителен и корень с минусом будет меньше. Заметим, что
$2 2 5a + 4a≤ 2(2+ 2a), −2− a≤0$
Отсюда $−2−a+√5a2+4a √- t2 = 2+2a ≤ 2$ , потому может принимать только значения $0,1$ . В первом случае $2 2 a +4a+ 4= 5a +4a ⇐⇒ a= ±1$ . Во втором $√ -2----- 2 5a + 4a= 4+ 3a ⇐ ⇒ 4a + 20a+16= 0 ⇐⇒ a= −1,a= −4$ — также не подходят.
Оба корня неотрицательны и целые. Отсюда $a ≤− 2,a∈ ℤ$ , знаменатель отрицателен. Тогда выполнено
$2 +a+ ∘5a2+-4a≤ 0 =⇒ 5a2+ 4a− 4 − 4a− a2 = 4a2 − 4≤ 0 ⇐⇒ a∈ {−1;0;1}$

В итоге (объединяя решения для трёх случаев со значениями $a,$ для которых $D≤ 0$ ) имеем $a∈ (−2;1]$ , отсюда $b ∈(−∞;− 12)∪[1;+∞ ).$ Вспомним, что в условии спрашивали про целые значения параметра, и запишем ответ.

Ответ:

$ℤ ∖{0}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80060

Найдите все значения $a,$ при которых неравенство

8x2-− 20x+-16 4x2− 10x+ 7 ≤ a

является верным при всех значениях $x.$

Показать ответ и решение

2 2 4x − 10x+ 7= (2x− 2,5) +0,75>0

Значит можно домножить обе части на знаменатель и знак не изменится.

2 2 8x − 20x+ 16 − 4ax +10ax− 7a≤ 0

(4a− 8)x2+ (20 − 10a)x +7a− 16≥ 0

Случай, когда это не квадратный трёхчлен

1.

$a =2$

−2≥ 0-не правда

2.

$a <2$ Тогда если рассмотреть функцию $f$ :

f(x)= (4a− 8)x2+ (20− 10a)x +7a− 16

Это парабола, верви которой направлены вниз, вершина параболы

20− 10a 10 5 x0 =− 2(4a−-8) = 8-= 4

$f(x)$ убывает на $(5;+∞ ) 4$ - значит, нам этот случай не подходит.

3.

$a >2$ Тогда

D = (10(2− a))2− 4(4a− 8)(7a− 16)≤ 0

(a− 2)(25a− 50− 28a+ 64)≤0

a≥ 14 3

Ответ:

$a ≥ 14 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91343

При каких значениях параметра $a$ неравенство

x x 2 3⋅4 − 6a⋅2 +3a + 2a − 14< 0

не имеет решений?

Показать ответ и решение

Пусть $y =2x$ . Тогда нам нужно, чтобы у уравнения $3⋅y2 − 6a⋅y+ 3a2+2a− 14< 0$ не было положительных решений. Дискриминант этого уравнения $2 2 36a − 12(3a + 2a− 14)= −24(a − 7)$ . Значит, при $a≤ 0$ у уравнения нет корней и это нам подходит. Если $a> 0$ , то у него есть 2 корня и их сумма равна $2a >0$ . Значит, один из корней уравнения больше 0 и тогда между корнями будет некоторое положительное число. Оно и будет являться корнем изначальном неравенства.

Ответ:

$(−∞;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32517

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

6 6 2 sin x+ cos x+ a⋅sin2x≥ a

выполняется для всех действительных $x$ .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала хочется избавиться от шестых степеней, причём 6 - чётное число. Можно ли как-то получить сумму 2k-ых степеней синуса и косинуса? Довольно классическим способом является возведение основного тригонометрического тождества в степень k, тогда получим нужную сумму, а также некоторое количество слагаемых, которые нужно вычесть из обеих частей полученного равенства. В данном случае возведём ОТТ в куб и выразим сумму шестых степеней.

Подсказка 2

После преобразований останется 1 - 3/4 sin²(2x). Тогда можно сделать замену t = sin(2x), получив квадратичную функцию от t, причём для определённости перепишем так, чтобы старший коэффициент был положительным. Как теперь можно переформулировать задачу? Если неравенство должно выполняться для любых иксов, то должно выполняться для всех t от -1 до 1. Тогда главный вопрос: в каком случае у параболы с ветвями вверх на всём некотором отрезке принимаются неположительные значения?

Подсказка 3

На самом деле, это верно в том и только том случае, если этот отрезок лежит между корнями (может быть, концы совпадают с корнями). А как записать условие на то, что отрезок лежит между корнями? Это значит, что на концах отрезка принимаются неположительные значения. Запишем систему из двух неравенств, и найдём подходящие значения a!

Показать ответ и решение

По формуле суммы кубов

6 6 2 2 4 2 2 4 sin x+ cos x =(sin x+ cos x)(sin x − sin xcos x+cos x)=

2 2 2 2 2 3 2 = (sin x +cosx) − 3sin xcosx =1 −4 sin 2x,

После замены $t= sin2x ∈[−1,1]$ можно переписать неравенство в виде

3 2 2 2 2 1 −4t + at≥a ⇐ ⇒ 3t− 4at+4(a − 1)≤ 0

Перед нами парабола, ветви которой направлены вверх, тогда выполнение неравенства для любого $t∈ [−1,1]$ эквивалентно тому, что корни лежат по разные стороны от этого отрезка (в том числе, быть может, на концах отрезка). А значит, тому, что неравенство выполнено в точках $±1$ :

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

( [1−√2 1+√2] { a ∈[--2√,-2--√-] ( a ∈ −1−2-2,−1+2-2

Пересекая отрезки, получаем ответ.

Ответ:

$[1− √2 −1+ √2] --2--;---2---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#94198

На координатной плоскости рассматриваются параболы вида $f(x)= 2020ax2− 2020ax+ 1$ , относительно которых известно, что $|f(x)|≤1$ при $0 ≤x ≤1$ . Найдите наибольшее возможное значение параметра $a$ .

Источники: САММАТ - 2021, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте заметим, что коэффициенты при x и x² у нас одинаковые по модулю и отличаются по знаку. Что мы тогда можем сказать про график этого трёхчлена?

Подсказка 2

Мы можем сказать, что он симметричен относительно 1/2, так как принимает в 0 и в 1 одинаковые значения. При этом и в нуле, и в единице у него значение 1. Как тогда выглядит наша парабола и как нам максимизировать а?

Подсказка 3

Так как наша парабола на отрезке от 0 до 1 не меньше -1 и не больше 1, то она направлена ветвями вверх, а значит, нам остаётся только сделать так, чтобы самая нижняя точка параболы была не ниже -1.

Показать ответ и решение

Так как $f(0)= f(1)= 1$ , то график симметричен относительно прямой $x= 0,5$ . Тогда $f(0,5) =1− 2020a 4$ . Учитывая, что $|f(x)|≤ 1$ , приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра $a$ достигается при

2020a f(0,5)= 1− --4--=− 1

2020a --4--=2

2020a= 8

2 a= 505-

Ответ:

$-2- 505$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31159

При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

∘ -------2---- (x+ 2) ax+x − x − a≥ 0

найдутся два решения, разность между которыми равна $4$ ?

Источники: Физтех-2019, 9.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, а каким вообще должно быть подкоренное выражение? Да, оно должно быть больше нуля! Давайте, разложим его на множители, как оно будет выглядеть? Какие значения должен принимать x, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным?

Подсказка 2

Да, подкоренное выражение разложится как: (x-1)(a-x). Тогда, чтобы оно было неотрицательным, x должен принимать значение, которое находится на отрезке между 1 и a! Как записать условие, что найдутся два корня, разность между которыми равна 4?

Подсказка 3

Да, нам нужно, чтобы |a-1| ≥ 4. То есть, первый случай: a≥5; второй случай: a ≤ -3. Могут ли возникнуть дополнительные ограничения на a?

Подсказка 4

Да, потому что при a ≤ -3, корни лежат на отрезке [a;1]! Получается, что меньший корень будет не больше 3 ⇒ меньший корень в точности равен a(чтобы всё выражение обращалось в ноль). А что можно сказать про больший корень?

Подсказка 5

Верно, больший корень равен a+4. Но в таком случае, корень будет равен нулю только при a = -3. Значит (x+2) ≥ 0 ⇒ (a+6) ≥ 0. То есть, a ≥-6

Показать ответ и решение

Выражение под корнем раскладывается как $(x − 1)(a − x)$ . Значит корни находятся между $1$ и $a$ , поэтому если их разность $4,$ то либо $a ≥5$ , либо $a≤ −3.$

Если $a≥ 5$ , то корни $x= 1$ и $x= 5$ нам подходят, так как корень будет определен и будет неотрицательным и $x+ 2$ будет положительным.

Если $a≤ −3$ , то корни будут лежать в отрезке $[a, 1]$ . Так как один из корней будет меньше другого на $4,$ то меньший корень будет не больше $− 3.$ Значит, если мы его подставим, то $x +2< 0$ и $√--------2--- ax+ x− x − a≥ 0$ . Единственный случай, когда их произведение будет $≥0$ , если $√--------2--- ax+ x− x − a= 0$ . Отсюда меньший корень равен $a$ . Тогда больший корень равен $a+ 4$ и $∘------- (a+ 6) −4(a+ 3) ≥0$ . Отсюда либо $a =−3$ , либо $a <− 3$ и $a ≥− 6$ .

Ответ:

$[−6;− 3]∪ [5;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#45584

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)

Подсказка 2

Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.

Подсказка 3

Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?

Подсказка 4

Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#85146

При скольких значениях параметра $a$ уравнение

( 2) 2 1− a x + ax+1 =0

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

При $a= 1$ уравнение принимает вид $x+ 1= 0$ и имеет единственный корень $x= −1;$ аналогично, при $a= −1$ уравнение имеет единственный корень $x= 1$ .

Если же $a ⁄=±1$ , то наше уравнение - квадратное с дискриминантом

2 ( 2) 2 D =a − 4 1− a = 5a − 4

Корень будет единственным в том и только в том случае, если $D =0$ , то есть при $a= ±2∕√5$ . Всего, стало быть, получается четыре значения $a$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#39888

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых графики функций

2x2−4x+3 3 x2− 2x+3 f(x)= 3 + a и g(x)= a⋅3 − 5

имеют ровно три общие точки.

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Перепишем равенство функций в виде

2(x−1)2+1 3 (x− 1)2+2 3 +a =a ⋅3 − 5

Или при $t= 3(x−1)2 ≥ 1$

3t2− 9at+ a3+ 5= 0

Это квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь решение $t= 1$ (потому что иначе для решения $t1 > 1$ $log3t1 =(x− 1)2 > 0$ и относительно $x$ будет два решения, то есть если $t= 1$ не корень, то решений чётное количество). Второе решение же должно быть строго больше одного (отсюда как раз и получатся ещё два решения). Итак, подставим $x =1 ⇐ ⇒ t= 1$ :

√-- 3− 9a +a3+ 5= 0 ⇐⇒ (a − 1)(a2+ a− 8) =0 ⇐ ⇒ a =1,a= −1±--33- 2

При таких $a$ решением будет $t = 1 1$ . Чтобы второй корень $t 2$ был больше единицы, необходимо и достаточно $9a =t + t >2 ⇐⇒ a> 2 3 1 2 3$ , поэтому остаются только $a= 1,a = −1+√33- 2$ .

Ответ:

$1;−1+√33 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33523

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 2 )√---- x − (a +8)x− 6a + 24a 3− x≤ 0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные на физический факультет МГУ, 2002, № 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда с ограничений! Заметим, что одно решение у нас будет всегда, при любом значении а. Значит нам надо, чтобы других решений у неравенства не было.

Подсказка 2

Корень неотрицателен всегда. Какой должна быть первая скобка, чтобы у нас не появилось новых решений? Запишите соответствующее ограничение, не забывая что у нас есть ОДЗ.

Подсказка 3

Итак, нам необходимо, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен на всей области определения, при том в 0 он может обращаться в одной единственной точке (подумайте, в какой именно!).

Подсказка 4

Рассмотрите трёхчлен в первой скобке, в каких случаях он принимает отрицательные значения? Заметим, что красивый дискриминант позволяет нам в явном виде выразить корни. Сделайте это и поставьте соответствующие условия на их значения! Осталось решить неравенство с модулем и получить ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что значение $x= 3$ является решением неравенства при любых значениях параметра. Значит, других решений быть не должно: при $3 − x >0$ первая скобка должна быть положительной.

Рассмотрим уравнение $2 2 x − (a +8)x− 6a + 24a= 0$ . Его дискриминант равен $2 2 2 2 D = (a +8) − 4(−6a + 24a)= 25a − 80a+ 64 =(5a− 8) .$

Из неотрицательности дискриминанта следует, что соответствующая квадратичная функция (первая скобка) принимает неположительные значения на отрезке между корнями (или только в вершине, если корень один). Нам требуется, чтобы при $x < 3$ эта первая скобка принимала только положительные значения, то есть первая скобка может быть неположительной только при $x≥ 3$ , значит, меньший корень должен лежать не левее, чем $3$ :

a +8− |5a − 8| ------2---- ≥ 3 ⇐⇒ a+2 ≥|5a− 8|

− a− 2 ≤5a− 8≤ a+ 2⇐⇒ 1 ≤a ≤ 5 2

Ответ:

$[1;5] 2$

Предыдущий раздел

Следующий раздел