Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Первое решение. Запомним Домножим на , раскроем скобки и вынесем :

Можем разделить на положительную скобку, так как она равна :

С другой стороны, можно оценить и сверху

Итак, при или решений у уравнения не может быть, тем более целых. А тогда про все решения уравнения можно утверждать что угодно, в частности что все решения являются целыми числами - утверждение верно (ведь мы не можем опровергнуть его, приведя такое решение, которое было бы нецелым).

Остаётся понять про . Проверкой убеждаемся, что тут решения есть, но все решения целые (), так что это значение тоже подходит.

То есть подходят. не может быть. В итоге все целые значения , кроме , подходят.

Второе решение.

После замены и , имеем квадратное уравнение относительно (кроме , для которого условие выполнено)

Нам подойдёт случай , когда решений нет, потому что про элементы пустого множества решений любое утверждение верно, в частности, что любое решение является целым числом (это пример, что из ложной предпосылки следует что угодно, импликация из всегда истинна).

Отдельно рассмотрим . Здесь получаем и , что нас устраивает, поскольку решений относительно также нет.

Пусть теперь уравнение имеет два корня, тогда неотрицательные должны быть целыми, а отрицательные могут быть любыми. Рассмотрим случаи

• Оба корня отрицательные, при достаточно учесть условия на коэффициенты. То есть

  

  Имеем .

• Ровно один корень отрицательный. Тогда второй неотрицательный и целый, отсюда их произведение . Корни имеют вид . Знаменатель положителен и корень с минусом будет меньше. Заметим, что

  

  Отсюда , потому может принимать только значения . В первом случае . Во втором — также не подходят.

• Оба корня неотрицательны и целые. Отсюда , знаменатель отрицателен. Тогда выполнено

  

В итоге (объединяя решения для трёх случаев со значениями для которых ) имеем , отсюда Вспомним, что в условии спрашивали про целые значения параметра, и запишем ответ.