Тема Задачи с параметром

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103998

При каких значениях параметра $a$ три различных параболы с уравнениями $y = ax2+ x+ 1; y = x2+ax+ 1; y = x2+ x+ a$ имеют общую касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)

Показать ответ и решение

Пусть $y =kx+ b$ — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой $y$ с каждой из парабол:

2 2 2 ax + x+ 1= kx+b, x +ax+ 1= kx+ b, x +x +a= kx+ b

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю:

(| (1− k)2 − 4a(1− b)= 0 { (a− k)2− 4(1− b)= 0 |( (1− k)2 − 4(a− b)= 0

(|{ (1− k)2 = 4a(1− b) (a− k)2 = 4(1− b) |( (1− k)2 = 4(a− b)

Из первого и третьего уравнений:

4a(1− b)= 4(a− b)⇒ a − ab= a− b⇒ ab= b

Отсюда возможно два случая:

[ b =0, для лю бого a a =1, для любого b

Значение $a= 1$ не подходит, так как тогда первая и третья параболы совпадают, что противоречит условию об их различии.

Так как $b= 0,$ верно:

{ (1− k)2 = 4a (a− k)2 = 4

{ (1− k)2 = 4a k =a∓ 2

Получаем 2 случая:

[ (3− a)2 = 4a, если k= a− 2 (1+ a)2 = 4a, если k= a+ 2

Решения: $a= 1$ при $k= 3,$ $a= 1$ при $k =− 1,$ $a= 9$ при $k =7.$

Из всех решений подходит только одно: $a= 9$ при $k= 7.$ Получаем единственное значение параметра: $a= 9.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79187

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 sin x+ asinx =a − 1

имеет решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $sinx =t, −1 ≤t≤ 1:$

2 2 t + at− a + 1= 0

Нужно, чтобы это квадратное относительно $t$ уравнение имело хотя бы один корень из отрезка $[−1;1].$

Ровно один корень на этом отрезке уравнение имеет в случае, когда значения функции $f(t)=t2+ at− a2+ 1= 0$ на концах отрезка имеют разные знаки (допускается при этом, чтобы одно или оба значения были равны нулю, тогда корни уравнения будут в точках -1 или 1):

f(− 1)⋅f(1)≤0

(1− a− a2+ 1)(1+a − a2+ 1)≤0

(a+ 2)(a− 1)(a− 2)(a+1)≤ 0

(a2− 1)(a2− 4)≤ 0

1≤ a2 ≤4

А также один корень (в случае нулевого дискриминанта, когда вершина касается оси и лежит на отрезке) или два корня на отрезке будет при условиях

( ||||{ y(− 1) >0 y(1)> 0 ||||( tверш ∈ [−1;1] D ≥0

(| 1− a − a2+ 1> 0 |||{ 2 | 1+a − aa + 1> 0 |||( −21≤ −22 ≤1 a +4a − 4≥ 0

( ||| −2< a< 1 |{ −1< a< 2 ||| −2≤(a≤ 2 √ ] [ √- ) |( a∈ −∞;− 255 ∪ 255;+∞

( ∘ -] [∘ --) a ∈ − 1;− 4 ∪ 4;1 5 5

Итого решения из $[−1;1]$ есть при

[ ∘ -] [∘ --] a∈ − 2;− 4 ∪ 4;2 5 5

Ответ:

$[ ∘4] [∘ 4- ] − 2;− 5 ∪ 5;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88175

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 x − 6ax+ 2− 2a+ 9a = 0

имеет корни, причём все корни больше трёх.

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.

Если $D =0,$ уравнение имеет единственный корень, который совпадает с $xвершины.$

$PIC$

Если $D >0,$ то уравнение имеет два корня. При условии, что оба корня $> 3,$ график выглядит так:

$PIC$

Условия на параболу, фиксирующие оба подходящих случая, можно записать системой:

( |{ D ≥0 | x(верш) >3 ( y(3)> 0

Подставим выражения для дискриминанта, абсциссы вершины и значения в точке $x= 3:$

( |{ 36a2 − 4(2− 2a+ 9a2)>0 |( 3a> 3 9− 6a⋅3+2 − 2a+ 9a2 >0

( |{ 8a− 8> 0 |( a >21 9a − 20a +11> 0

Решение системы:

11 a> 9

Ответ:

$(11;+∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88176

При каких $a$ неравенство

2 ax + (a+1)x− 3< 0

выполняется при всех $x < 2$ ?

Показать ответ и решение

$1)$ Если $a =0,$ то неравенство становится линейным:

x− 3< 0

Это неравенство выполнено при всех $x< 2,$ поэтому $a= 0$ нам подходит.

$2)$ Если $a> 0,$ то парабола $y = ax2+(a+ 1)x − 3$ будет иметь ветви, направленные вверх. Тогда неравенство выполняется не для всех $x <2$ (при $x→ −∞ y(x)→ +∞$ )

$3)$ Если $a< 0,$ то парабола $y = ax2+ (a +1)x− 3$ будет иметь ветви, направленные вниз. Рассмотрим дискриминант этого квадратичного трехчлена

2 2 D= (a+ 1) − 4⋅(− 3)⋅a =a + 14a+1

1.

Если $D < 0,$ то парабола находится ниже оси абсцисс. Тогда неравенство $ax2+ (a+ 1)x− 3< 0$ выполнено при любых $x,$ в частности, при всех $x< 2.$

$PIC$

Решая квадратное неравенство $a2+ 14a+ 1< 0$ получаем $a∈ (− 7− 4√3;−7 +4√3).$

2.

Если $D = 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x(верш) ≥2.$

$PIC$

То есть

− a+2a1≥ 2

Условие на вершину будет выполнено только для корня дискриминанта, равного $− 7+4√3.$

3.

Если $D > 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x ≥2, (верш)$ а также $y(2)≤ 0.$

$PIC$

Эти условия задаются системой:

( ||||{ a< 0 D > 0 ||||( x(верш) ≥2 y(2)≤ 0

Решая систему, получим $√- a∈ (−7+ 4 3;0)$

В итоге, получаем ответ:

√- a ∈(−7− 4 3;0]

Ответ:

$a ∈(−7− 4√3;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88267

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 x − (2a− 1)x+ 4− a= 0

имеет два корня, между которыми заключено число 3.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

2 y = x − (2a− 1)x +4− a

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:

$PIC$

Значит, необходимо:

16 y(3)< 0 ⇒ a> 7-

Ответ:

$a ∈( 16;+∞ ) 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88268

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства

2 2 2 x − (a − 2a− 3)x+ a +2 ≤0

является отрезок $[2;3]?$

Показать ответ и решение

Рассмотрим множество функций

2 2 2 fa(x) =x − (a − 2a− 3)x +a + 2

При каждом фиксированном $a$ это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. При этом она может выглядеть как (1) $(D = 0),$ (2) $(D > 0)$ или (3) $(D< 0):$

$PIC$

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок $[2;3],$ необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть необходимо выполнение следующих условий:

(| 2 2 2 ||{ D =(a − 2a − 3) − 4(a + 2)> 0 || fa(2)= 0 |( fa(3)= 0 ( |||{ (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 a2− 4a − 12= 0 |||( a2− 3a − 10= 0 ( { (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 ( a= −2

Заметим, что при $a= −2$ неравенство $(a2− 2a − 3)2− 4(a2+2)> 0$ выполняется, так как оно равносильно $1> 0.$ Следовательно, получаем

a ∈{−2}

Замечание.

Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии $f (2)= f (3)= 0, a a$ поскольку квадратный трехчлен имеет два корня $x = 2$ и $x =3.$

Ответ:

$a ∈{−2}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88877

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 x − ax +2 =0

имеет корни, причём все корни лежат на интервале $(0;3).$

Показать ответ и решение

Положим $f(x)= x2− ax+ 2.$

Во-первых, по условию, $f(x)$ имеет корни, следовательно, дискриминант $2 D =a − 8$ неотрицателен. Таким образом, $√- |a|≥ 2 2.$

Во-вторых, старший коэффициент $f(x)$ равен 1, следовательно, ветви параболы, которую она задает, направлены вверх. Заметим, что парабола, имеющая ветви вверх, принимает отрицательные значения при тех и только тех значениях аргумента, которые лежат строго между ее корнями. В этом случае, парабола имеет вид:

$PIC$ $PIC$

Так, $f(x)$ не может принимать неположительные значения в точках 0 и 3. Иными словами, $f(0)= 2> 0$ и $f(3)= 9− 3a+ 2> 0,$ то есть $a< 11. 3$

В-третьих, необходимо, чтобы каждый из корней лежал в интервале $(0,3),$ для этого, при условии $11 a< -3 ,$ достаточно, чтобы вершина парабола имела абсциссу $xв,$ значение которое лежало бы на отрезке от 0 до 3. Cледовательно, парабола имеет вид:

$PIC$

Таким образом, $0< a <3, 2$ то есть $0< a< 6.$

Объединяя множество значений, полученных в каждом из предыдущих пунктов: $√- 11 2 2≤ a< -3 .$

Ответ:

$[2√2;11) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31148

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 (a− 2)x + 2(a− 2)x +2= 0

не имеет корней.

Показать ответ и решение

Если $a =2$ , то уравнение превращается в $2= 0$ — корней ней, значит, $a= 2$ нам подходит.

Если $a⁄= 2$ , то перед нами квадратный трёхчлен. У него нет корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше нуля.

Дискриминант трёхчлена из уравнения равен

2 4(a− 2) − 8(a− 2)= 4(a− 2)(a − 4),

значит, нам подойдут $a∈ (2;4)$ .

Ответ:

$[2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31275

При каких $a$ корни уравнения

2 x +2(a− 2)x− 4a+ 5= 0

различны и оба больше $− 1$ ?

Показать ответ и решение

Для наличия двух различных корней нужна положительность дискриминанта, то есть $0 <D ∕4= (a− 2)2 − (−4a+ 5)=a2− 1 ⇔ |a|>1$

Оба корня больше $− 1$ , если по оси абсцисс вершина параболы $x= 2− a$ находится правее точки $x= −1$ (тогда $3> a$ ) и значение параболы в точке $x= −1$ больше нуля: $2 (−1) +2(2− a)− 4a+ 5>0 ⇔ 10− 6a >0$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(1;5) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31276

При каких значениях $a$ один корень уравнения $ax2+ 2x+2a+ 1= 0$ меньше $1$ , а другой больше $1$ ?

Показать ответ и решение

Сразу отбросим $a= 0$ , поскольку в этом случае всего один корень. Далее пусть $f(x)=ax2+ 2x+ 2a +1 =a(x− x)(x− x ) 1 2$ , где корни лежат по разные стороны от $1$ , если $a> 0$ , то это эквивалентно $f(1)= a+ 2+ 2a +1= 3a+ 3< 0⇐⇒ a < −1$ , если же $a< 0$ , то $f(1)> 0⇐ ⇒ a> −1$ , в итоге подходит только $a∈ (−1,0)$ . Осталось проверить условие наличия корней $2 D1 = 1− a(2a+1)= 1− 2a − a >0 ⇐⇒ a∈ (− 1,1∕2)$ .

Ответ:

$(−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31282

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x2− ax +2= 0$ имеет решения, лишь одно из которых удовлетворяет условию $1 <x <3$ ?

Показать ответ и решение

Для $D =a2− 8≥ 0$ нужно $|a|≥ 2√2-$ , пусть $f(x)=x2 − ax+ 2$ , всего возможны три случая:

1.: Есть всего один корень, то есть $a= ±2√2 =⇒ x= ±√2-∈(1,3)$ — единственный корень, тогда $a =2√2$ нам подходит, далее считаем $|a|> 2√2$ .
2.: Один из корней лежит на $(1,3)$ , а другой вне отрезка $[a,b]$ , что эквивалентно $f(1)⋅f(3)< 0$ , поскольку можно представить $f(x)$ в виде $f(x)= (x − x1)(x− x2)$ , где $x1 ∈(1,3),x2 ∈(−∞,1)∪ (3,+∞ )$ , если же это не так, то выражение будет либо нулём, когда есть корень $1$ или $3$ , либо положительно, так оба корни будут либо на интервале, либо вне интервала $(1,3)$ . То есть в этом случае $(1− a+2)(9 − 3a+ 2)= (3− a)(11− 3a)< 0$ , то есть $a∈ (3,11∕3)$ .
3.: Один из корней равен $1$ или $3$ , а второй лежит на интервале, если корень равен $1$ , то второй равен $2$ (их произведение равно 2), откуда $a =1 +2 =3$ , иначе второй корень равен $2∕3$ , он не лежит на интервале $(1,3)$ и не подходит, то есть $a =3$ .

Ответ:

${2√2}∪ [3,11) 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47916

Найдите все целые значения параметра $b$ , при каждом из которых все решения уравнения

5√-10 6√-6 (1+ 1∕b)⋅ x + (2 +1∕b)⋅ x + 1− 1∕b= 0

являются целыми числами.

Показать ответ и решение

Первое решение. Запомним $b⁄= 0.$ Домножим на $b$ , раскроем скобки и вынесем $b$ :

( 2 ) 2 b⋅ x +2|x|+ 1 = 1− |x|− x

Можем разделить на положительную скобку, так как она равна $(|x|+1)2 ≥ 1$ :

x2+-2|x|− |x|+-1−-2 -|x|+-2- b=− (|x|+ 1)2 = −1+ (|x|+ 1)2 >− 1

С другой стороны, можно оценить и сверху

b= −1+ -|x|+-22 = −1 +-1-- +---1--2 ≤− 1+1 +1= 1 (|x|+1) |x|+1 (|x|+ 1)

Итак, при $b≤− 1$ или $b> 1$ решений у уравнения не может быть, тем более целых. А тогда про все решения уравнения можно утверждать что угодно, в частности что все решения являются целыми числами - утверждение верно (ведь мы не можем опровергнуть его, приведя такое решение, которое было бы нецелым).

Остаётся понять про $b =1$ . Проверкой убеждаемся, что тут решения есть, но все решения целые ( $2x2 +3|x|= 0 ⇐⇒ x= 0$ ), так что это значение тоже подходит.

То есть $b≤− 1,b≥ 1$ подходят. $b= 0$ не может быть. В итоге все целые значения $b$ , кроме $b= 0$ , подходят.

Второе решение.

После замены $t= |x|≥ 0$ и $a= 1 b$ , имеем квадратное уравнение относительно $t$ (кроме $a= −1$ , для которого условие выполнено)

2 2 2 2 (1+ a)t + (2 +a)t+1− a= 0, D = 4+ 4a +a + 4a − 4 =5a + 4a

Нам подойдёт случай $D < 0 ⇐⇒ a∈(− 4;0) 5$ , когда решений нет, потому что про элементы пустого множества решений любое утверждение верно, в частности, что любое решение является целым числом (это пример, что из ложной предпосылки следует что угодно, импликация из $0$ всегда истинна).

Отдельно рассмотрим $D = 0 ⇐⇒ a∈ {0,− 4} 5$ . Здесь получаем $t=− 1$ и $t= −3$ , что нас устраивает, поскольку решений относительно $x$ также нет.

Пусть теперь уравнение имеет два корня, тогда неотрицательные должны быть целыми, а отрицательные могут быть любыми. Рассмотрим случаи

Оба корня отрицательные, при $D > 0$ достаточно учесть условия на коэффициенты. То есть
${ t1⋅t2 = 1− a >0 ⇐ ⇒ a <1 t1+ t2 =− 2− a <0 ⇐ ⇒ a >− 2$
Имеем $a∈ (−2,− 45)∪ (0,1)$ .
Ровно один корень отрицательный. Тогда второй неотрицательный и целый, отсюда их произведение $1− a≤ 0 ⇐ ⇒ a≥1$ . Корни имеют вид $√----- t1,2 = −2−a±2+25aa2+4a$ . Знаменатель положителен и корень с минусом будет меньше. Заметим, что
$2 2 5a + 4a≤ 2(2+ 2a), −2− a≤0$
Отсюда $−2−a+√5a2+4a √- t2 = 2+2a ≤ 2$ , потому может принимать только значения $0,1$ . В первом случае $2 2 a +4a+ 4= 5a +4a ⇐⇒ a= ±1$ . Во втором $√ -2----- 2 5a + 4a= 4+ 3a ⇐ ⇒ 4a + 20a+16= 0 ⇐⇒ a= −1,a= −4$ — также не подходят.
Оба корня неотрицательны и целые. Отсюда $a ≤− 2,a∈ ℤ$ , знаменатель отрицателен. Тогда выполнено
$2 +a+ ∘5a2+-4a≤ 0 =⇒ 5a2+ 4a− 4 − 4a− a2 = 4a2 − 4≤ 0 ⇐⇒ a∈ {−1;0;1}$

В итоге (объединяя решения для трёх случаев со значениями $a,$ для которых $D≤ 0$ ) имеем $a∈ (−2;1]$ , отсюда $b ∈(−∞;− 12)∪[1;+∞ ).$ Вспомним, что в условии спрашивали про целые значения параметра, и запишем ответ.

Ответ:

$ℤ ∖{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80060

Найдите все значения $a,$ при которых неравенство

8x2-− 20x+-16 4x2− 10x+ 7 ≤ a

является верным при всех значениях $x.$

Показать ответ и решение

2 2 4x − 10x+ 7= (2x− 2,5) +0,75>0

Значит можно домножить обе части на знаменатель и знак не изменится.

2 2 8x − 20x+ 16 − 4ax +10ax− 7a≤ 0

(4a− 8)x2+ (20 − 10a)x +7a− 16≥ 0

Случай, когда это не квадратный трёхчлен

1.

$a =2$

−2≥ 0-не правда

2.

$a <2$ Тогда если рассмотреть функцию $f$ :

f(x)= (4a− 8)x2+ (20− 10a)x +7a− 16

Это парабола, верви которой направлены вниз, вершина параболы

20− 10a 10 5 x0 =− 2(4a−-8) = 8-= 4

$f(x)$ убывает на $(5;+∞ ) 4$ - значит, нам этот случай не подходит.

3.

$a >2$ Тогда

D = (10(2− a))2− 4(4a− 8)(7a− 16)≤ 0

(a− 2)(25a− 50− 28a+ 64)≤0

a≥ 14 3

Ответ:

$a ≥ 14 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91343

При каких значениях параметра $a$ неравенство

x x 2 3⋅4 − 6a⋅2 +3a + 2a − 14< 0

не имеет решений?

Показать ответ и решение

Пусть $y =2x$ . Тогда нам нужно, чтобы у уравнения $3⋅y2 − 6a⋅y+ 3a2+2a− 14< 0$ не было положительных решений. Дискриминант этого уравнения $2 2 36a − 12(3a + 2a− 14)= −24(a − 7)$ . Значит, при $a≤ 0$ у уравнения нет корней и это нам подходит. Если $a> 0$ , то у него есть 2 корня и их сумма равна $2a >0$ . Значит, один из корней уравнения больше 0 и тогда между корнями будет некоторое положительное число. Оно и будет являться корнем изначальном неравенства.

Ответ:

$(−∞;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32517

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

6 6 2 sin x+ cos x+ a⋅sin2x≥ a

выполняется для всех действительных $x$ .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

По формуле суммы кубов

6 6 2 2 4 2 2 4 sin x+ cos x =(sin x+ cos x)(sin x − sin xcos x+cos x)=

2 2 2 2 2 3 2 = (sin x +cosx) − 3sin xcosx =1 −4 sin 2x,

После замены $t= sin2x ∈[−1,1]$ можно переписать неравенство в виде

3 2 2 2 2 1 −4t + at≥a ⇐ ⇒ 3t− 4at+4(a − 1)≤ 0

Перед нами парабола, ветви которой направлены вверх, тогда выполнение неравенства для любого $t∈ [−1,1]$ эквивалентно тому, что корни лежат по разные стороны от этого отрезка (в том числе, быть может, на концах отрезка). А значит, тому, что неравенство выполнено в точках $±1$ :

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

( [1−√2 1+√2] { a ∈[--2√,-2--√-] ( a ∈ −1−2-2,−1+2-2

Пересекая отрезки, получаем ответ.

Ответ:

$[1− √2 −1+ √2] --2--;---2---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#94198

На координатной плоскости рассматриваются параболы вида $f(x)= 2020ax2− 2020ax+ 1$ , относительно которых известно, что $|f(x)|≤1$ при $0 ≤x ≤1$ . Найдите наибольшее возможное значение параметра $a$ .

Источники: САММАТ - 2021, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Так как $f(0)= f(1)= 1$ , то график симметричен относительно прямой $x= 0,5$ . Тогда $f(0,5) =1− 2020a 4$ . Учитывая, что $|f(x)|≤ 1$ , приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра $a$ достигается при

2020a f(0,5)= 1− --4--=− 1

2020a --4--=2

2020a= 8

2 a= 505-

Ответ:

$-2- 505$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31159

При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

∘ -------2---- (x+ 2) ax+x − x − a≥ 0

найдутся два решения, разность между которыми равна $4$ ?

Источники: Физтех-2019, 9.6, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Выражение под корнем раскладывается как $(x − 1)(a − x)$ . Значит корни находятся между $1$ и $a$ , поэтому если их разность $4,$ то либо $a ≥5$ , либо $a≤ −3.$

Если $a≥ 5$ , то корни $x= 1$ и $x= 5$ нам подходят, так как корень будет определен и будет неотрицательным и $x+ 2$ будет положительным.

Если $a≤ −3$ , то корни будут лежать в отрезке $[a, 1]$ . Так как один из корней будет меньше другого на $4,$ то меньший корень будет не больше $− 3.$ Значит, если мы его подставим, то $x +2< 0$ и $√--------2--- ax+ x− x − a≥ 0$ . Единственный случай, когда их произведение будет $≥0$ , если $√--------2--- ax+ x− x − a= 0$ . Отсюда меньший корень равен $a$ . Тогда больший корень равен $a+ 4$ и $∘------- (a+ 6) −4(a+ 3) ≥0$ . Отсюда либо $a =−3$ , либо $a <− 3$ и $a ≥− 6$ .

Ответ:

$[−6;− 3]∪ [5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#45584

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#106822

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 4x − 8|x|+(2a+ |x|+x) = 4

имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a.$

Показать ответ и решение

1.

Пусть $x >0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

2x2+ x(2a− 2)+a2− 1= 0

1.1.

Обозначим здесь и далее $x0$ абсцису вершины пораболы. Пусть данное уравнение имеет два положительных корня. Это эквиваленто условиям:

( (|{ D > 0 ||{ −4a2− 8a+ 12> 0 (|{ a∈ (−3;1) x0 > 0 ⇔ −2a+-2> 0 ⇔ a< 1 ⇔ a ∈(−3;−1) |( f(0)>0 ||( a24− 1 >0 |( a∈ (−∞;−1)∪ (1;+∞ )

1.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

{ D= 0 ({ −4a2− 8a +12= 0 ⇔ ( −2a+-2 >0 ⇔ a= −3 x0 >0 4

Если уравнение имеет два корня, но только один из них положительный, а второй отрицательный:

{ { { D > 0 −4a2− 8a +12> 0 a ∈(−3;1) f(0)< 0 ⇔ a2− 1< 0 ⇔ a ∈(−1;1) ⇔ a∈ (−1,1)

Если уравнение имеет два корня. Один из них положительный, а второй равен $0$ :

(| D > 0 (|| −4a2− 8a +12> 0 (| a ∈(−3;1) { f(0)=0 ⇔ { a= ±1 ⇔ { a = ±1 ⇔ a= −1 |( x > 0 ||( −2a+-2 >0 |( a ∈(−∞; 1) 0 4

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один положительный корень при $a∈ {− 3} ∪[− 1;1).$

1.3.

Пусть данное уравнение не имеет положительных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

2 −4a − 8a+ 12< 0

a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞)

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0:

{ { D= 0 a∈ {− 3;1} f(0)= 0 ⇔ a= ±1 ⇔ a= 1

Объединяя оба случая, получаем, что уравнения не имеет положительных корней при $a∈ (−∞;−3)∪ [1;+∞).$

2.

Пусть теперь $x< 0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

x2+ 2x+a2− 1= 0

2.1.

Пусть данное уравнение имеет два отрицательных корня. Это эквиваленто условиям:

( ( |{ D >0 ||{ 8 − 4a2 > 0 { √- √- √- √- | x0 < 0 ⇔ | −2< 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) ⇔ a ∈(− 2;−1)∪ (1; 2) ( f(0)> 0 |( a22 − 1> 0 a ∈(−∞;− 1)∪ (1;+∞ )

2.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

( { D =0 { 8− 4a2 =0 √ - x0 < 0 ⇔ ( −-2< 0 ⇔ a= ± 2 2

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй положительный:

{ { 2 { √- √- D > 0 ⇔ 82− 4a > 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) f(0) <0 a − 1< 0 a ∈(−1;1)

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй равен $0$ :

( ( 2 |{ D > 0 ||{ 8− 4a > 0 { a ∈(−√2;√2) | f(0) =0 ⇔ | a−22− 1 =0 ⇔ a =±1 ( x0 < 0 |( -2-<0

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один отрицательный корень при $a∈ {±√2}∪ [− 1;1].$

2.3.

Пусть данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

8 − 4a2 > 0

a∈(−∞; −√2)∪(√2;+∞ )

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0

{ D =0 { a= ±√2- f(0)= 0 ⇔ a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

В итоге уравнение не имеет отрицательных корней при $a∈ (−∞; −√2)∪ (√2;+∞ ).$

3.

Пусть $x =0.$ Тогда $a= ±1.$

Теперь выберем случаи, когда уравнение имеет ровно два корня.

Вариант 1. Если в случае 1 ровно два корня, в случае 2 и в случае 3 нет корней:

( |{ a∈(−3;−1)√- √- √- |( a∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ ) ⇔ a ∈(−3;− 2) a⁄= ±1

Причем корни будут

−(2a − 2)± √−4a2−-8a+12 1 ∘ ---------- x1,2 =----------4-----------= 2(1− a± −a2− 2a+ 3)

Вариант 2. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 2 ровно один, а в случае 3 нет корней:

( |{ a∈ {− 3}√-∪[−1;1) |( a∈ {± 2}∪[−1;1] ⇔ a∈ (− 1;1) a⁄= ±1

Причем корни будут:

−(2a− 2)+ √−-4a2-− 8a+-12 1 ∘ ---------- x1 =----------4-----------= 2(1− a + −a2− 2a+3)

√------ x2 = −2−-8-− 4a2= −1− ∘2-− a2 2

Вариант 3. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 2 нет корней:

(| a∈ {−3}∪[−1;1) { a∈ (− ∞;−√2)∪ (√2;+ ∞) |( a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

Вариант 4. Если в случае 2 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 1 нет корней:

(|{ a ∈(−∞;− 3)∪[1;+∞ ) a ∈{±√2} ∪[−1;1] ⇔ a= 1 |( a =±1

Причем корни будут:

√----------- x = −(2a−-2)+--−-4a2-− 8a+-12= 1(1− a +∘ −a2−-2a+3) 1 4 2

−2− √8-− 4a2 ∘ ----- x2 =-----2-----= −1− 2− a2

Вариант 5. Если в случае 2 ровно два корня, в случае 1 и в случае 3 нет корней:

(| a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞) { a∈ a∈ (−√2;− 1)∪ (1;√2) ⇔ a∈ (1;√2) |( a⁄= ±1

Причем корни будут:

x1,2 = −1± ∘2-− a2

Ответ:

$a ∈(−3;−√2), x = (1− a±√3-−-2a-− a2)∕2 1,2$

$( √--------) √ ----- a∈(−1;1], x1 = 1− a+ 3− 2a− a2 ∕2, x2 =− 1− 2− a2$

$√- √----- a∈(1; 2), x1,2 = −1± 2− a2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#85146

При скольких значениях параметра $a$ уравнение

( 2) 2 1− a x + ax+1 =0

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

При $a= 1$ уравнение принимает вид $x+ 1= 0$ и имеет единственный корень $x= −1;$ аналогично, при $a= −1$ уравнение имеет единственный корень $x= 1$ .