Тема . Задачи с параметром

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88176

При каких $a$ неравенство

2 ax + (a+1)x− 3< 0

выполняется при всех $x < 2$ ?

Показать ответ и решение

$1)$ Если $a =0,$ то неравенство становится линейным:

x− 3< 0

Это неравенство выполнено при всех $x< 2,$ поэтому $a= 0$ нам подходит.

$2)$ Если $a> 0,$ то парабола $y = ax2+(a+ 1)x − 3$ будет иметь ветви, направленные вверх. Тогда неравенство выполняется не для всех $x <2$ (при $x→ −∞ y(x)→ +∞$ )

$3)$ Если $a< 0,$ то парабола $y = ax2+ (a +1)x− 3$ будет иметь ветви, направленные вниз. Рассмотрим дискриминант этого квадратичного трехчлена

2 2 D= (a+ 1) − 4⋅(− 3)⋅a =a + 14a+1

1.

Если $D < 0,$ то парабола находится ниже оси абсцисс. Тогда неравенство $ax2+ (a+ 1)x− 3< 0$ выполнено при любых $x,$ в частности, при всех $x< 2.$

$PIC$

Решая квадратное неравенство $a2+ 14a+ 1< 0$ получаем $a∈ (− 7− 4√3;−7 +4√3).$

2.

Если $D = 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x(верш) ≥2.$

$PIC$

То есть

− a+2a1≥ 2

Условие на вершину будет выполнено только для корня дискриминанта, равного $− 7+4√3.$

3.

Если $D > 0,$ то неравенство будет выполнено при всех $x <2$ , если вершина параболы $y =ax2+ (a+1)x− 3$ будет удовлетворять условию $x ≥2, (верш)$ а также $y(2)≤ 0.$

$PIC$

Эти условия задаются системой:

( ||||{ a< 0 D > 0 ||||( x(верш) ≥2 y(2)≤ 0

Решая систему, получим $√- a∈ (−7+ 4 3;0)$

В итоге, получаем ответ:

√- a ∈(−7− 4 3;0]

Ответ:

$a ∈(−7− 4√3;0]$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ