Тема . Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30989

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ