Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Тема Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88067

Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$ , решениями которой были бы все такие пары целых чисел $(x,y)$ , которые удовлетворяют системе неравенств

{ y ≤ 1000 − x2 2 y ≥ x

Других решений у системы быть не должно.

Замечание. Уравнения системы должны быть компактными выражениями (без знаков суммирования, троеточий и т.п.), в записи которых, помимо чисел и собственно неизвестных $x$ и $y$ , разрешается использовать скобки, знак $=$ , стандартные арифметические операции и элементарные функции из школьной программы.

Источники: Межвед - 2024, 11.6 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а каким самым простым способов можно добиться того, чтобы 100-x² y >= 0? А чтобы y - x²>= 0?

Подсказка 2

А что если эти выражения будут стоять под корнем?

Подсказка 3

А как добиться того, чтобы какая-то функция при целых х и у давала какое-то определенное значение?

Подсказка 4

Обратите внимание на тригонометрические функции с аргументами pi * x и pi * y. Какие особенные значения они дают при целых х и у?

Показать ответ и решение

Покажем, что система

(| ----sinπx---- |{ ∘1001−-x2− y-= 0 ||( ∘--sinπy---=0 1+ y− x2

является подходящей. Обозначим систему неравенств за $A$ . Покажем, что любая пара целых чисел, удовлетворяющих $A,$ является решением.

Действительно, пусть $A$ верно, тогда каждое из подкоренных выражений числителей неотрицательно, а каждый из числителей обращается в ноль, поскольку числа $x,y$ целые.

Теперь покажем, что никакая из других пар не является решением. Пусть $(x0,y0)$ — решение, тогда $sinπx= 0,$ следовательно, $x$ — целое и $sinπy = 0$ , следовательно, $y$ — целое. Кроме этого, $1001− x2− y > 0$ , а значит, $1001− x2− y > 1$ , откуда верно первое неравенство системы $A.$ Аналогично получаем, что верно второе неравенство системы $A.$

Ответ: пример в решении

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88702

Пусть $z,u,v$ — положительные числа. При каких ограничениях на $z,u,v$ существует конечное число положительных целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющих неравенству

y x vu < z?

Источники: САММАТ - 2024, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с неравенством в таком виде, попробуем его хоть как-то преобразовать. Что можно сделать с обеими частями?

Показать ответ и решение

Прологарифмируем это неравенство:

lnv+ ylnu< xlnz =⇒ ylnu< xln z− lnv.

получили неравенство для линейной функции.

Для того, чтобы пары $(x,y)$ были целыми положительными числами, график должен располагаться в первой четверти так, как это показано на рисунке, а интересующая нас область — заштрихована.

$PIC$

Пусть $lnu >0$ , тогда имеем $y < lnzx− lnv lnu lnu$ (эта ситуация изображена на рисунке). Если $ln u> 0$ , $u > 1$ , то $− lnv->0 lnu$ и $lnv> 0 lnz$ , откуда $0< v < 1$ и $0< z < 1$ .

Случай $ln u< 0$ при любых $lnz$ и $ln v$ задаёт неограниченную область изменения $(x,y)$ , он не реализуем по условию задачи.

Ответ:

$u >1,0< v < 1,0 <z <1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90946

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем замену t = 2x - 1, посмотрим, как теперь выглядит показатель степени, можем ли мы как-то его оценить?

Подсказка 2

Для знаменателя можно применить неравенство о средних, тогда как раз сразу видно, в каком диапазоне чисел лежит весь показатель! Ну а теперь несложно определить, какие значения может принимать 16 в данной степени

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

-t--- f(t)= t2+ 4.

Так как

√--- t2+ 4≥ 2 4t2 =4|t|,

то

1 t 1 −4 ≤ t2-+4-≤ 4.

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функций

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть полуинтервал $[ ] 12;2$ .

Ответ:

$a ≥2,b< 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64956

Найти все $a$ , при которых для любого $b$ система

{ 2(1+ |y|)a +(b2− 2b+ 2)x =3 xy(x+ b− 1)=2a2− 3a+1

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Раз у нас условие должно выполняться для любого $b,$ то подставим "удобные"(при которых уравнения упрощаются) значения $b.$

Например, при $b= 1$ первое уравнение принимает вид: $a (1+|y|) = 1$ . Тогда

либо

2 1+ |y|= 1 =⇒ y =0 =⇒ 2a − 3a+ 1= 0

либо

2 a =0 =⇒ x y = 1

и есть решения (например $(1,1)$ ).

Мы поняли, что при $b= 1$ система может иметь решение только при $a =0$ или $2a2− 3a+ 1= 0 ⇐⇒ a∈ {0,5;1}$ . Теперь нужно проверить, при каких из этих значениях $a$ система будет иметь решение для любого $b.$ Задача свелась к перебору трёх значений, остальные заведомо не подходят, ведь условие будет выполнено не для любого $b$ (например, не будет выполнено для $b= 1$ ).

1.: $a =0$ . Тогда из первого уравнения $(b2− 2b+ 2)x =1$ . Для $b$ , при которых $b2− 2b+2⁄= 1$ получим, что $x =0.$ Тогда второе уравнение обращается в $0= 1.$ Такое $a$ нам не подходит.
2.: $1 a = 2;a =1.$ Тогда второе уравнение обращается в $xy(x+b − 1)= 0$ . Заметим, что пара $(0;0)$ является решением системы. Такие $a$ нам подходят.

Ответ:

$1;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67588

Найдите все значения параметра $a,$ для каждого из которых найдётся значение параметра $b,$ при котором система уравнений

{ ax+ 2y− 3b= 0 (x2+ y2 − 9)(x2+y2− 12x+ 32)= 0

имеет ровно 4 решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что интересное мы видим? Правильно, во втором уравнении нет параметров! Поэтому давайте рассмотрим пока только его, возможно, получится что-то хорошее!

Подсказка 2

Да, это уравнение задаёт две окружности! Первая с центром (0;0) и радиусом 3, а вторая с центром (6;0) и радиусом 2. Так, а теперь, когда из второго уравнения мы получили всё что могли, нужно возвращаться к первому уравнению системы и думать, что делать с ним!

Подсказка 3

Конечно, поскольку окружности построены в осях X и Y, то из первого уравнения хочется выразить y и построить прямую! То есть, мы получим: y = -ax/2 + 3b/2. Изобразим эту прямую на графике, тогда в каком случае у нас будет 4 решения?

Подсказка 4

Верно, 4 решения будет тогда и только тогда, когда прямая пересекает каждую из двух окружностей! А какой случай полезно было бы рассмотреть, чтобы проще найти все значения параметра a?

Подсказка 5

Да, нужно провести общую внутреннюю касательную(мы говорим именно про внутреннюю касательную, потому что только в этом случае окружности будут лежать по разные стороны от прямой)! Поскольку b отвечает только за параллельный перенос прямой, то мы делаем вывод: чтобы система могла иметь 4 решения, угловой коэффициент получившейся прямой должен быть по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей касательной! А как найти угловой коэффициент внутренней касательной?

Подсказка 6

Да, перенесем нашу касательную в начало координат! Тогда у образовавшегося прямоугольного треугольника мы знаем гипотенузу и катет, то есть легко можем найти второй катет! А дальше вспомним, что коэффициент наклона – это тангенс угла! Осталось найти тангенс и понять, когда |-a/2| меньше чем этот тангенс!

Показать ответ и решение

Второе уравнение системы равносильно совокупности

[ x2+y2− 9= 0 2 2 x +y − 12x+32 =0

[ x2+y2 = 9 (x − 6)2+y2 = 4

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности $Ω$ и $ω$ — с центрами в точках $O(0;0)$ и $Q(6;0)$ и радиусами $3$ и $2$ соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

ax +2y− 3b= 0

y =− ax+ 3b 2 2

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом $k= − a. 2$ При фиксированном значении $a$ — т.е. при фиксированном угле наклона — и при $b∈ ℝ$ получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом $k= − a. 2$

Чтобы система имела ровно $4$ решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра $b$ можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную $AB$ к окружностям (пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с $Ω$ и $ω$ соответственно). Пусть $l$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $O;$ пусть также $l∩QB = H,$ $∠HOQ = φ$ ( $OH ∥AB,$ поэтому $φ$ — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

HQ = HB + BQ = OA+ BQ = 3+ 2=5,

а также $OQ = 6,$ то из прямоугольного $△HOQ$ имеем

∘ --------- √-- OH = OQ2− HQ2 = 11

Значит,

HQ- -5- tgφ = OH = √11

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем $tgφ,$ откуда

|| a|| -5- |− 2|< √11

( 10 10) a ∈ − √11;√11

Ответ:

$(−√10;√10-) 11 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31986

Найдите, при каких значениях параметра $a$ для любого действительного $b$ найдется такое число $c$ , что система

{ bx− y = ac2; (b− 6)x+ 2by =c+ 1

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Параметры это фиксированные числа, а решениями системы являются пары $(x,y)$ . Оба уравнения системы на плоскости $xOy$ задают прямые (при $b= 0$ первое уравнение даёт горизонтальную прямую $2 y = ac$ , а второе — вертикальную $c+1 x= −6$ ; при $b= 6$ второе уравнение даст горизонтальную прямую; при других значениях это две наклонные). Прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельны (в последнем случае у системы решений не будет). Заметим, что параметр $b$ входит только в коэффициенты перед $x$ и $y$ , то есть регулирует угол наклона. Параметры же $a$ и $c$ отвечают за параллельный перенос (сдвиг) прямых.

Если число $b$ такое, что прямые пересекаются, то решение гарантированно будет. По условию же нужно, чтобы решение существовало при любых $b$ . Рассмотрим такие $b$ , при которых прямые параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны:

6− b b= -2b-

b=− 2,b= 3 2

Нужно подобрать такие значения $a$ , чтобы в том числе при таких $b$ прямые пересекались. А при найденных двух значениях $b$ они могут только совпадать. Проверим, когда это происходит:

В первом случае

{ −2x− y = ac2 2 1- −8x− 4y = c+1 =⇒ ∃c: 4ac − c− 1= 0⇐⇒ a= 0 или 1+ 16a≥ 0⇐⇒ a ≥− 16

Во втором

{ 3∕2⋅x− y =ac2 1 −9∕2⋅x+ 3y = c+1 =⇒ ∃c: 3ac2 +c+ 1= 0⇐ ⇒ a= 0 или 1− 12a≥ 0⇐⇒ a ≤12

Ответ:

$[−1∕16,1∕12]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32533

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (x2+ 1)a+(b2+ 1)y = 2; a+bxy+ x2y = 1

имеет решение для любого значения параметра $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала разберёмся с условием. Что значит, что при любом b система имеет решения? То есть при фиксированном a мы всегда можем подобрать такие x и y, что система верна. Сразу что-то выразить не получается. Тогда можно попробовать подставить "хорошее" значение b, чтобы найти необходимое условие на a. Другие значения a не подойдут, так как тогда при выбранном значении b система не будет иметь решения. Какое же значение хочется взять?

Подсказка 2

Попробуем взять b = 0, так как в этом случае в первом уравнении ничего не зависит от y. Первое уравнение превращается в (x² + 1)^a = 1, когда такое возможно? В двух случаях: когда единицу возводим в произвольную степень или когда положительное число возводим в нулевую степень. Это условие задаёт совокупность: x = 0 или a = 0, и теперь эти значения можно подставить во второе уравнение.

Подсказка 3

Получили необходимое условие на a: a = 0 или a = 1. Осталось их проверить, то есть подставить в исходную систему и найти решения для любого b. Для проверки мы можем либо указать решение (x,y) при любом b, чтобы доказать, что этот случай подходит, либо подобрать значение b, при котором решений нет, тем самым доказывая, что случай не подходит.

Показать ответ и решение

В частности, система должна иметь решение для $b=0$ , то есть

⌊ { x= 0 { (x2+ 1)a = 1 || a= 1 2 ⇐ ⇒ || { a+ x y = 1 ⌈ a=2 0 x y = 1

При $a= 0$ мы получим систему

{ (b2 +1)y = 1 bxy+x2y = 1

При $b⁄= 0$ обязательно $y = 0$ , откуда невозможно равенство во втором уравнении. Если же $a= 1$ , то

{ { x2+ 1+(b2+1)y = 2 x2+ (b2+ 1)y =1 1+ bxy +x2y = 1 ⇐ ⇒ bxy+x2y =0

В этой системе для произвольного $b$ решением всегда будет пара $(0,0)$ .

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32705

Найдите все $a$ , при которых система

{ x− by +az2 = 0; 2bx +(b− 6)y− 8z =8

имеет решение относительно $(x,y,z)$ для любого $b$ .

Показать ответ и решение

Выразим $x$ из первого уравнения и подставим во второе:

( 2) ( 2 ) 2 2b by− az + (b− 6)y− 8z = 8⇐ ⇒ 2b + b− 6y =2abz +8z+ 8 (3)

Если мы найдем такие $a$ , что уравнение (3) имеет решения $(y,z)$ при любом $b$ , то, опять-таки при любом $b$ можно будет найти $x$ по формуле $x =$ $by− az2$ , т.е. система решается относительно всех переменных при любом $b$ . Обратно, если система имеет решение $(x,y,z)$ при любом $b$ , то пара $(y,z)$ при том же $b$ будет решением уравнения (3).

Значит, мы должны найти такие $a$ , что уравнение (3) имеет решения относительно $(y,z)$ при любых $b$ . Однако, при $2 3 2b + b− 6⁄= 0⇐ ⇒ b⁄= −2,b ⁄= 2$ уравнение (3) имеет решение - можно положить $z = 0$ и $--8--- y = 2b2+b−6$ . Если $b=− 2$ , то получаем уравнение (4) $2 2 − 4az+ 8z+ 8= 0⇐⇒ az − 2z− 2 =0$ , которое имеет решение при $1 D ≥ 0⇐⇒ 1+ 2a≥ 0⇐⇒ a≥− 2$ . Аналогично, при $3 b= 2$ получается уравнение

3az2 +8z+ 8= 0,

которое имеет решение при $16− 24a≥ 0⇐⇒ a ≤ 2 3$ . Мы доказали, что если $a$ удовлетворяет условию задачи, то $a∈ [− 1,2] 2 3$ . Обратно, если $a$ принадлежит этому отрезку, то при $b⁄= −2,3 2$ решение (3) уже было указано, а при $b$ , равному одному из этих чисел оба квадратных уравнения (4) и (5) имеют решения. Их и надо взять в качестве $z$ , а $y$ можно выбрать произвольно.

Ответ:

$[− 1;2] 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74781

Найдите все действительные числа $d,$ для которых существуют многочлены от одной переменной $P$ и $Q,$ такие что равенство

P(x) P(x+ d) 1 Q(x) − Q(x+-d) = x(x-+1)

выполняется при всех значениях $x$ , кроме конечного числа (есть лишь конечное множество значений $x$ , для которых равенство не выполняется).

Источники: Высшая проба - 2022, 11.4 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что 1/x(x+ 1) = 1/x - 1/(x + 1) - так мы удобно для себя разложили правую дробь. Однако, мы знаем, что любую, так называемую иррациональную дробь (то есть, где сверху и снизу - многочлены) можно разложить на сумму вида P_i(x) / (x - alpha_i) ^ n_i, где P_i(x) - не нулевой многочлен, а alpha_i - корень, возможно комплексный(чтобы было линейно разложимо) многочлена Q(x). Поэтому основная идея задачи - разложить дроби в такой вид и смотреть на то, могут ли как-то сократиться подобные. То есть, если у вас есть к примеру, в левой часть какой-то не сократившийся член 1/(x + k), а справа его нет, то это значит, что равенство происходит только в конечном числе точек, что нам не подходит. В правой часть у нас только 1/x - 1/(x + 1), значит и в левой части должно быть также. Значит, по нашему предположению о решении задачи - хотелось бы доказать, что-то насчет 0,1 и их связи с корнями. Если мы хотим доказывать от противоречия и как-то использовать корни, то, с учетом вот этой «несократимости», которая была описана выше, как мы хотим его получить?

Подсказка 2

Удачным был бы шаг решения, когда мы получили какой-то корень отличный от 0 и 1, при этом, такой, чтобы он был корнем Q(x), но не корнем Q(x + d), потому что тогда бы мы получили бы в нашем разложении на сумму дробей что-то, что не сокращается с Q(x + d) и не сокращается с правой частью. И поскольку мы каждый раз прибавляем x + d (напомним - мы можем подставлять почти, с точностью до конечного числа, любые значения и будет выполнено равенство), то наверное правильным решением будет ввести понятие цепи - всевозможных чисел вида alpha + md, где m - целое и alpha - корень Q(x). А также нам надо что-то понимать про то, какие из чисел этой цепи являются корнем или нет. Попробуйте использовать принцип крайнего и получите хорошее утверждение, которое значит больше половины задачи.

Подсказка 3

Нам удобно ввести m_- и m_+ - наименьшее и наибольшее соотвественно число, при котором alpha + md является корнем Q(x) (корректно ли это определение?). Тогда в смысле цепи нам бы хотелось доказать, что если alpha - корень, то 0 и 1 лежат в цепи alpha. Предположим, что хотя бы одно не лежит в цепи. Тогда, корень Q(x) - alpha_i = alpha + m_+ * d не равно ни 0, ни 1. Может ли быть, что это также корень Q(x + d)? А о чем тогда это говорит в связи с предыдущими рассуждениями?

Подсказка 4

Конечно, это не может быть корнем Q(x + d), иначе тогда бы alpha + (m_+ + 1) * d был бы корнем Q(x), что противоречит максимальности. Тогда эта дробь, соответствующая корню, не сократится ни с Q(x + d), ни с правой частью. А потому пришли к противоречию. Значит, для некоторого целого m_1 верно, что alpha + m_1 * d = 0, и для некоторого целого m_2 верно, что m_2 * d + alpha = 1, а значит, (m_2 - m_1) * d = 0 = > для некоторого целого m выполнено, что md = 1 => d = 1/m, где m - целое. Осталось доказать, по хорошему, конструктивно, что все такие d подходят. Если строить пример, то надо строить его в виде уже разложенных в сумму дробей многочленов, потому что нам потом самим раскладывать. Какой тогда пример мы можем привести, если хотим, чтобы после разности очень похожих дробей (по сути - все сместится на 1/m в знаменателях и это будет что-то очень похожее), у нас осталось только 1/x - 1/(x + 1)? Может быть как то, условное «смещение» некоторой последовательности использовать? А как его добиться?

Подсказка 5

Если мы хотим добиться смещения по последовательности, то нам надо, чтобы при прибавлении 1/m для каждого члена у нас получался следующий, а также, чтобы последний член становился равным 1, чтобы получалось 1/(x + 1). На такую роль очень подходит дробь вида 1/x + 1/(x + 1/m) + 1/(x + 2/m) + … + 1/(x + (m - 1)/m). Тогда все работает. А правда ли, что этот пример работает для всех m? А если взять m = -1? К тому же, стоит, напоследок, перед тем как полностью решить задачу подумать, к чему тут именно конечное число точек, а не нулевое и везде ли мы делали корректные переходы не упуская случай d = 0. Пробегитесь по решению и проверьте на корректность все

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что при $d= 0$ равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что $d⁄= 0$ даже когда не напоминаем об этом явно.

Предположим, что такие многочлены $P$ и $Q$ нашлись. Тогда можно считать, что они взаимнопросты (иначе поделим оба на общий множитель — новая пара тоже удовлетворяет условию), и у $Q$ старший коэффициент равен 1 (домножим $P$ и $Q$ на константу , чтобы старший коэффициент стал равен 1). Введем обозначение для разложения $Q$ на линейные множители (естественно, воспользовавшись существованием такого разложения в комплексных числах):

Q(x)=(x− α1)n1(x− α2)n2⋅⋅⋅(x− αk)nk

Для комплексного числа $α$ множество чисел вида $α +md,$ где $m ∈ℤ$ , будем называть цепью числа $α.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ключевое утверждение:

Если $α$ — корень $Q,$ то числа 0 и 1 принадлежат цепи $α.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство.

Пусть $α$ — корень $Q,$ тогда обозначим через $m−$ и $m+$ такие минимальное и максимальное значения $m,$ при которых $α+ md$ является корнем $Q.$ Заметим, что $m−$ и $m+$ определены корректно: множество значений $m$ не пусто (поскольку 0 подходит) и конечно, поскольку у $Q$ конечное число корней (первое место, в котором важно, что $d⁄= 0$ ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи $α.$ Тогда одно из двух чисел $α+ (m− − 1)d$ и $α+ m+d$ не является ни 0 ни 1 (второе место: нам важно, что $α +(m − − 1)d$ и $α +m+d$ — два разных числа). Рассмотрим эти два случая.

Пусть $α+ m+d= αi$ — не равно ни 0 ни 1. Посмотрим на равенство из условия

P-(x)− P(x+-d)= ---1-- = 1− -1-- Q (x) Q(x+ d) x(x+ 1) x x+ 1

и разложим левую часть на простейшие дроби:

P(x)= P (x)+ --P1(x)-- +--P2(x)- +⋅⋅⋅+--Pk(x)- , Q (x) 0 (x− α1)n1 (x− α2)n2 (x− αk)nk

где степень $Pi(x)$ меньше $ni$ при $1 ≤i≤ k,$ причем $Pi ⁄= 0.$

Поскольку $αi$ — корень $Q,$ в разложение $PQ((xx))$ входит член со знаменателем $(x − αi)ni$ и ненулевым числителем. Но $αi$ — не корень $Q (x+ d),$ иначе $α + d= α+ (m +1)d i +$ было бы корнем $Q(x),$ что противоречило бы максимальности $m +$ . Тогда член со знаменателем $ni (x− αi)$ не входит в разложение $P(x+d) Q(x+d),$ значит члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы доказали, что если у многочлена $Q$ есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа 0 и 1, то есть выполняется равенство $-1 d= m$ для какого-то целого $m$ . Если же у $Q$ нет комплексных корней, то он - ненулевая константа, то есть $P(x)- Q(x)$ и $P (x+d) Q-(x+d)$ — многочлены, тогда их разность не может равняться $x(x1+1).$

Осталось показать, что все значения вида $d= 1m,$ где $m ∈ ℤ,m ⁄= 0$ подходят. Для $m >0$ достаточно взять функцию

1+ --11-+ --12-+ ⋅⋅⋅+ ---1m−1- x x+ m x+ m x+ m

и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве $P,$ а знаменатель — $Q.$ Для $m <0$ то же самое сделать с суммой

-−1- ---−1--- --−-1--- -−-1-- x+ 1 + x+ −m−−m1-+ x+ −m−−m2-+⋅⋅⋅+ x+ −1m

Ответ:

$d =-1, m$ где $m ∈ℤ,m ⁄= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76643

Найти все числа $C$ , для которых неравенство $|αsin x+β cos2x|≤C$ выполняется при всех $x$ и любых $(α;β)$ таких, что $2 2 α + β ≤ 4.$

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Функции синус и косинус ограничены отрезком [-1;1]. Значит, можно оценить левую часть, избавившись от этих функций.

Подсказка 2

Найдите максимальное значение левой части при фиксированных коэффициентах и покажите, что оно достигается.

Подсказка 3

Используя второе условие, можно нарисовать получившиеся ограничения на C. Из рисунка будет понятно, какие значения подходят под ответ.

Показать ответ и решение

$f(x)= |αsin x+β cos2x|≤|α||sinx|+ |β||cos2x|≤ |α|+ |β|.$ Покажем, что значение $|α|+ |β|$ всегда достижимо для функции $f(x)$ при любых $(α;β):$

1. Если $α$ и $β$ одного знака, то $(3π) f 2 = |− α − β|= |α|+ |β|;$

2. Если $α$ и $β$ разных знаков, то $(π) f 2 =|α− β|=|α|+|β|$

Таким образом, при фиксированных $(α;β)$ максимальное значение $f(x)$ равно $|α|+|β|.$ В круге $2 2 α +β ≤4$ величина $|α|+ |β|$ принимает наибольшее значение $√- 2 2.$

$PIC$

Итак, при любых $(α;β)$ в круге $α2 +β2 ≤4$ и при любых $x$ справедливо неравенство $f(x)= |αsin x+β cos2x|≤2√2,$ так что любое $C < 2√2$ не удовлетворяет условию задачи, а $C ≥2√2$ искомое.

Ответ:

$C ≥ 2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90552

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2+ y2 = z x +y+ z = a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Сложим уравнения и получим: $(x+ 1)2+(y+ 1)2 = a+ 1 2 2 2$ . Пусть оно имеет какие-то корни. Тогда при подстановке корней в первое уравнение системы, а достаточно проверить только его, поскольку преобразование было линейным, подберётся $z$ , откуда и система будет иметь решение, значит, система имеет столько же решений, сколько данное уравнение. Действительно, мы знаем, что решений не больше, при этом из каждого найденного что-то получится. Откуда полученное уравнение имеет ровно одно решение, что достигается при $1 a =− 2$ .

Ответ:

$− 1 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91931

Найти все пары значений $a,b$ , при каждой из которых система уравнений

{ (a+ b)x+ 26y =2 8x+ (a2 − ab+ b2)y = 4

имеет бесконечное множество решений.

Показать ответ и решение

Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда оба ее уравнения являются уравнением одной и той же прямой. Умножив обе части первого уравнения на 2 и приравняв коэффициенты при $x$ и $y$ полученного уравнения и второго уравнения исходной системы, имеем

2 2 2(a+ b)= 8, 52=a − ab+ b

или

2 a+ b= 4, (a+ b) − 3ab= 52

откуда $ab= −12.$ Решив систему

{ a+ b=4 ab=− 12

находим два ее решения $a1 = −2,b1 =6$ и $a2 = 6,b2 =− 2.$

Ответ: -2 и 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92038

Найти все значения параметра $a$ , при которых система

{ 2bx+ (a+ 1)by2 = a2 (a− 1)x3+ y3 = 1

имеет решение для любого $b.$

Показать ответ и решение

Система должна иметь решение, в частности, при $b= 0.$ Подставляя $b= 0$ в первое уравнение системы, получим $a2 = 1$ , то есть $a= ±1.$ Это необходимые условия на параметр $a$ (иные значения $a$ заведомо не годятся); остаётся проверить, являются ли эти условия достаточными. Пусть $a= 1$ . Тогда система принимает вид:

{ bx 2 23+ 2by =1 y = 1

и надо проверить, имеет ли она решения для любого $b.$ Из второго уравнения имеем $y = 1$ ; после подстановки этого значения в первое уравнение получим

bx 2 = 1− 2b

Это уравнение не имеет решений, например, при $b =1.$ Следовательно, $a= 1$ не годится. Пусть теперь $a= −1.C$ этим $a$ система примет вид:

{ 2bx =1 −2x3+ y3 =1

Легко видеть, что пара $(0,1)$ будет решением этой системы при любом $b.$ Значит, $a= −1$ нам подходит.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30989

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90866

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем не очень приятное выражение одновременно с x, arccos(x) и arcsin(x). Попробуйте немного улучшить вид нашего уравнения: выразить arcsin(x) через arccos(x), оставить всё, что связано с переменной x в левой части, а всё остальное перекинуть в правую.

Подсказка 2

Ясно, что обычными алгебраическими преобразованиями задачу не решить. А также мы имеем сильное ограничение на x в силу ОДЗ. Попробуйте оценить левую часть и понять, какие значения может принимать правая при любых b.

Подсказка 3

Итак, мы получили, что левая часть меньше π, а правая почти всегда может быть сколь угодно большим числом за счёт параметра b. Тогда нам нужно сделать так, чтобы b никак не мог менять правую часть. В каком же случае это выполняется?

Подсказка 4

Да, верно! Когда числитель правой части равен 0. Осталось лишь показать, что в этом случае всегда найдется корень.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1$

Мы знаем, что $( π π) arcsinx∈ − 2,2$ , $arccosx∈ (0,π)$ и $π arccosx+ arcsin x= 2$ . Значит,

π |x|+arccosx− 2 +b⋅(arccosx +|x|− 1)+ a= 0

π − 1 − a arccosx +|x|− 1= 2-b+-1-

Заметим, что если $π2 − 1− a⁄= 0$ , то правая часть может быт сколь угодно большим числом (так как $b$ любое), а левая часть $arccosx+ |x|− 1< π+ 1− 1=π$ ?!

Значит, если при любом значении $b$ есть хотя бы одно решение, то $a = π2 − 1$ . Тогда есть решение $x= 1$ для любого $b$ .

Ответ:

$π − 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64397

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям $a≥ b≥ c≥ 1,a−1+ b−1+c−1 = 1$ . Известно, что при некотором положительном $x$ выполняется равенство

c+x a+x-= c− 2.

Найдите все возможные значения $b.$

Источники: Вместо ЕГЭ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём равенство к тому виду, чтобы все слагаемые с х оказались в левой части, а остальное — в правой. Попробуйте оценить значение правой части

Подсказка 2

Для того, чтобы оценить выражение в правой части, вынесите ас за скобочки и примените данные в условии соотношения относительно a, b, c. Опираясь на них же, попробуйте оценить сверху значение с

Подсказка 3

Что можно сказать о решении уравнения, если с < 3? Тогда мы можем однозначно отыскать значение с. А возможны ли при таком значении с строгие неравенства в соотношении a ≥ b ≥ c? Сделайте вывод!

Показать ответ и решение

Перепишем данное равенство как

(c− 3)x =c +2a− ac

Заметим, что

( −1 −1 ) c+2a− ac= ac a + 2c − 1 ≥

≥ ac(a−1+ b−1+ c−1 − 1)= 0

При этом

3c−1 ≥ a− 1+b−1+ c−1 = 1,

то есть $c≤ 3$ . Следовательно, если $c− 3⁄= 0$ , решение уравнения $(c− 3)x= c+ 2a− ac$ единственно и неположительно. Но по условию оно имеет положительное решение. Стало быть, $c= 3$ . Но тогда $a= b= c=3$ , поскольку, если $a> c$ , то

a−1+ b− 1+c−1 < 3c−1 = 1,

что противоречит условию. Стало быть, $b= 3$ .

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90130

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)$ , при которых неравенство

4 4 4 2 2a(x+ 2) +9b(x − 2) ≥ x +24x + 16

справедливо для всех вещественных $x$ .

Источники: ДВИ - 2019, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перекинем все в одну сторону и попробуем привести неравенство к виду k(x+2)⁴ + t(x-2)⁴ ≥ 0, какие условия хочется записать на k и t?

Подсказка 2

Если неравенство выполняется при всех х, то оно должно выполняться и для х = 2 и х = -2, таким образом мы получаем ограничения на t и k. Подумайте, нужны ли нам еще какие-то условия, или этого уже достаточно?

Показать ответ и решение

Заметим, что $(x +2)4+(x− 2)4 =2(x4+ 24x2 +16)$ . Стало быть, исходное неравенство можно переписать как

( 1) 4 ( 1) 4 2a− 2 (x+ 2) + 9b− 2 (x− 2)≥ 0.

Подставляя $x= 2$ и $x= −2$ , получаем $2a− 12 ≥0$ и $9b− 12 ≥ 0$ . Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех $x$ . Следовательно, искомые значения параметров $\text{[math]}$ и $b$ описываются неравенствами $a ≥ 14,b≥ 118$ .

Ответ:

$a ≥ 1,b≥ 1 4 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#38891

Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении $-1-+ -1-= 1 x+a x+b c$ вместо $a$ , $b$ и $c$ поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, если мы еще «методом пристального взгляда» не подобрали такие коэффициенты, то стоит привести все к общему знаменателю, так как в таком виде непонятно как работать с уравнением и его корнями. Чтобы были целые корни, нужен как минимум, дискриминант равный квадрату целого числа, так как если он не равен квадрату целого, то корни будут иррациональными.

Подсказка 2

Ну вот мы нашли дискриминант. Он получился (a-b)^2 + (2c)^2. И это должно быть квадратом. Хмм… То есть, сумма квадратов - это квадрат. Интересно. Но ведь мы же знаем примеры таких чисел и это…

Подсказка 3

Верно, пифагоровы тройки. Тогда давайте начнем с первой такой тройки - (3,4,5). Значит, a - b = 3, c = 2. Тогда корни уравнения будут выражения (2с - a - b +-5)/2 = (4 - a - b +- 5)/2. Нам нужно, чтобы выражение делилось на 2, значит, нужно, чтобы а и b были разной четности. Пусть тогда это 3 и 6. Осталось проверить, что они подходят под ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Проверим, что числа $a =6$ , $b= 3$ и $c= 2$ подойдут. Уравнение будет иметь вид: $-1-+ -1-= 1 x+6 x+3 2$ . Его корнями будут числа $x =0$ и $x =− 5$ .

Первое решение.

Если привести всё к общему знаменателю и перемножить по правилу пропорции, то мы получим квадратное уравнение: $2 x + (a+b− 2c)x+ (ab− ac− bc)= 0$ . Это означает, что у уравнения должно быть два корня. Можно подобрать их исходя из того, что дискриминант $2 2 (a− b)+ (2c)$ должен быть точным квадратом (если мы хотим получить целые корни). В этом помогают пифагоровы тройки, например $2 2 2 3 + 4 =5$ и можно выбрать $c= 2$ , $a− b=3$ . В таком случае $2c−a−b±5 4−a−-b±5- x1,2 = 2 = 2$ . Если $a =6$ , $b= 3$ , то получаем те же решения $x1 = 0$ , $x2 = −5$ . Можно подставлять другие тройки, например, $2 2 2 5 + 12 =13$ и для них будут параметры $a =7$ , $b= 2$ и $c= 6$ , а корнями уравнения будут $x= 5$ и $x= −8$ .

Второе решение.

Также можно попробовать сделать один корень равным нулю и подобрать $a,b,c$ так, чтобы выполнялось равенство $1a + 1b = 1c$ . Довольно известным является равенство $12 + 13 + 16 = 1$ , поэтому стоит попробовать тройку $c= 2$ , $b= 3$ , $a= 6$ . Более того, в силу теоремы Виета, сумма корней равна $2c−a2−b$ , а поэтому если $a+ b$ чётно, то сумма корней будет целым числом, а значит, если один корень целый (например, $0$ ), то и второй корень тоже будет целым.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80579

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Показать ответ и решение

Второе условие можно переписать, как

2 2 (x− 6)+ (y− a) = 4

Если $3> 8 b$ , то $(x− 6)2+ (y − a)2 > 4$ ?!

Если $3≤ 8 b$ , то рассмотрим $y =b+ 8− 3 b$ . Тогда $x= |y − b|+ 3= 8 b$ . Осталось в качестве $a$ выбрать равное $y$ .

Ответ:

$b< 0$ или $b≥ 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#73722

Найдите все такие $a$ и $b,$ что $|a|+ |b|≥ 2√- 3$ и при всех $x$ выполнено неравенство

|a sinx+ bsin2x|≤1

Источники: ММО-2014, задача 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, когда числа $a$ и $b$ имеют один знак. В этом случае $|a|+|b|= |a+b|.$ Пусть $x= π. 3$ Тогда $2x= 2π,sinx= sin2x= √3 3 2$ и $√3 √3 1 ≤|asinx+ bsin2x|=|a+ b| 2 =(|a|+ |b|) 2 ≥1.$ Отсюда получаем, что $√2 |a|+|b|= 3,$ а в точке $π x= 3$ функция $f(x)= asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $π x= 3$ является точкой экстремума для функции $f(x)$ и $′π f(3)= 0.$ Имеем

π π 2π a− 2b f′(3)= acos3 + 2bcos-3 =--2--= 0

Следовательно, $a= 2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= 2√3,$ получаем, что возможны лишь два варианта $a= 34√3,b= 3√23-$ или $a =− 3√43-,b= − 3√23.$

Рассмотрим теперь случай, когда числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. В этом случае $|a|+|b|= |a − b|.$ Пусть $x = 2π3-.$ Тогда $√- 2x= 4π3 ,sinx= − sin2x=-32$ и $√- √- 1≤ |asinx+ bsin2x|=|a− b|-32 =(|a|+ |b|)-32 ≥1.$ Отсюда получаем, что $|a|+ |b|= √23,$ а в точке $x = 2π3-$ функция $f(x)=asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $x= 2π3$ является точкой экстремума функции $f(x)$ и $f′(2π3 )= 0.$ Имеем:

f′(2π-)=acos2π+ 2bcos 4π-= −a−-2b= 0 3 3 3 2

Следовательно, $a= −2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= √2 3$ получаем, что возможны лишь два варианта: $a= −-4√-,b= -2√- 3 3 3 3$ или $a =-4√-,b= −-2√-. 3 3 3 3$

Проверим, что четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, $|a|+ |b|= √2. 3$ Функция $f(x)$ принимает свои наибольшее и наименьшее значения в таких точках $x,$ для которых $f′(x)= 0.$ Найдём такие точки $x.$ Имеем:

f′(x)= acosx +2bcos2x =a(cosx ±cos2x)= 0

где знак в скобках выбирается положительным, если $a$ и $b$ одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции $f(x)$ имеем $|cosx|= |cos2x|.$ Значит, при таких $x$ выполнено также равенство $|sinx|= |sin2x|.$ Отсюда $|sin2x|= |sin x||cosx|$ и либо $sinx= 0,$ либо $|cosx|= 12.$ В первом случае $f(x)= 0,$ во втором $|sin√32 |,|sin 2x = √23|$ и