Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Параметры это фиксированные числа, а решениями системы являются пары . Оба уравнения системы на плоскости задают прямые (при первое уравнение даёт горизонтальную прямую , а второе — вертикальную ; при второе уравнение даст горизонтальную прямую; при других значениях это две наклонные). Прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельны (в последнем случае у системы решений не будет). Заметим, что параметр входит только в коэффициенты перед и , то есть регулирует угол наклона. Параметры же и отвечают за параллельный перенос (сдвиг) прямых.

Если число такое, что прямые пересекаются, то решение гарантированно будет. По условию же нужно, чтобы решение существовало при любых . Рассмотрим такие , при которых прямые параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны:

Нужно подобрать такие значения , чтобы в том числе при таких прямые пересекались. А при найденных двух значениях они могут только совпадать. Проверим, когда это происходит:

В первом случае

Во втором