Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Положим . Тогда уравнение принимает вид . Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .

При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном

то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.

Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда

где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем

Значит - натуральное, а -делитель 9 , т.е. . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

a не делится на 3 , то и .

Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

Случай очевиден, поскольку решение . Пусть . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные. Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим

и также сделаем вывод, что . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

а не делится на 3 , то и или , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.