Тема . Задачи с параметром

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69289

Найдите все значения параметра a,  при которых система

(|  y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|,
|||{          (                             )              (    )
|  22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0,
|||(
   x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение (x;y),  где x,y  — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных a.

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

 3−y    (         2                  )  x+|a+2x|    2
2  log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2      log3(y + 1)=0

 3−y   (            2   )   x+|a+2x|    2
2   log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2      log3(y +1)

 3−x−|a+2x|   (            2  )   y    2
2        log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что y ≥ 0.  Из третьего уравнения системы 3− x − |a+ 2x|≥ 0.

Введём функцию

      t    2
f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при t ≥0.  Значит, тоже является строго возрастающей функцией при t≥ 0.  Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение f(t),

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.  Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все u  и v  такие, что

{
  u≥ 0
  v ≤ 0

{
   a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0
   a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе Oxa  построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

PIC

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка (x,a)  должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если x  — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если a  целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые a,  для которых будет только один такой целый x,  что точка (x,a)  лежит в закрашенной зоне на графике:

При a= −2  имеем решение x= −1,y =0;

При a= −1  имеем решение x= −1,y =1;

При a= 1  имеем решение x =− 1,y = 3;

При a= 3  имеем решение x =− 2,y = 4;

При a= 4  имеем решение x =− 2,y = 5;

При a= 6  имеем решение x =− 3,y = 6.

Ответ:

 a =− 2,x= −1,y = 0;

a= −1,x =− 1,y =1;

a= 1,x= −1,y = 3;

a= 3,x= −2,y = 4;

a= 4,x= −2,y = 5;

a= 6,x= −3,y = 6.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!