Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Тема Задачи с параметром

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119860

Найдите все положительные $a,$ при каждом из которых неравенство

x y a√xy a y +x + x+ y ≥ 2 +2

выполняется при всех положительных $x$ и $y.$

Источники: ПВГ - 2025, 11.5(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Две переменные — это слишком сложно. Возможно получится оставить только одну? Выражения x/y + y/x и √(xy)/(x+y) ведь так друг на друга похожи.

Подсказка 2

Итак, скорее всего вы свели неравенство к виду t² + a/t ≥ a/2 + 4, где t ≥ 2. Функция слева непростая, поэтому придется исследовать её с помощью производной.

Подсказка 3

В задаче требуется выполнение при всех x, y. Это значит, что минимум функции на [2; +∞) должен быть не меньше числа из правой части.

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство к виду

(x+y)2 √xy- a xy + ax+ y ≥ 2 +4

Теперь сделаем замену $t= x√+xyy ≥2.$ Тогда неравенство превращается в

t2+ a≥ a+ 4 t 2

Исследуем левую часть как функцию с помощью производной:

f(t)= t2+ a t

f′(t)= 2t− a- t2

Минимум достигается, когда $t3 = a∕2.$ Пусть $b= 3∘a∕2.$ При $t> b$ получаем $f′(t)>0,$ и функция возрастает. Причём $f(2)= a +4. 2$ Значит, если $b≤ 2(a≤ 16),$ то неравенство выполнится при всех $x, y,$ а если $b> 2,$ то не выполняется в $t= b,$ поскольку это точка минимума, $f(b)< f(2).$ Значит, ответом будет $a∈ (0,16].$

Ответ:

$(0;16]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81380

При каких значениях параметра $b$ существует прямая, касающаяся графика функции $f(x)=x4+ bx2+x$ в двух точках? Для каждого такого значения параметра $b$ найдите уравнение соответствующей прямой.

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.7 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что означает касание? Какую систему нам нужно решать? Сколько корней у неё должно быть?

Подсказка 2

Касание происходит тогда, когда равны производные у прямой и функции, а также равны их значения в точке касания. Такая система должна иметь 2 решения. Как можно преобразовать систему и что можно заметить?

Подсказка 3

x^4 + bx^2 = (k-1)x + m и 4x^3 + 2bx = k-1. Не похоже ли это на условие какого-нибудь касания? Сколько решений может иметь такая система при различных b?

Подсказка 4

То есть должна существовать прямая y=(k-1)x + m, которая касается графика y=x^4 + bx^2. Очень часто количество решений можно узнать, если исследовать монотонность обеих частей.

Подсказка 5

Рассмотрите производную x^4 + bx^2 при b различных знаков и найдите возможные точки касания!

Показать ответ и решение

Условие, что прямая вида $y =kx+ m$ касается графика $y = f(x)$ означает равенство функций и равенство производных в точке касания:

({ 4 2 x + bx +x =kx+ m (4x3+ 2bx+ 1= k

Нас интересует, когда эта система имеет ровно $2$ корня. Заметим, что система эквивалентна

( { x4 +bx2 = (k − 1)x+ m ( 4x3+ 2bx= k− 1

То есть должна существовать прямая $y =(k− 1)x +m$ , которая касается графика $y = x4+ bx2$ .

При $b≥ 0$ ее производная $4x3+ 2bx$ монотонная функция, а значит, $4x3+ 2bx= k− 1$ имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.

При $b< 0$ можно заметить, что касательные в точках локального минимума $∘--- x1,2 =± −-b 2$ (нашли их как корни производной $3 4x + 2bx =0$ ) имеют одинаковый коэффициент наклона $0$ , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая $b2 b2 b2 y =x41+ bx21 = 4-− 2-= −4$ будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке $x= 0$ касательная $y = 0$ ; в других же точках коэффициент наклона касательной не $0$ ).

Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем $2 k − 1 =0;m =− b 4$ . То есть искомая касательная это $2 y = x− b 4$ .

Ответ:

при $b <0$ , прямая $y =x− b2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92085

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

6 3 2 x + (5a− 8x) +3x + 15a =24x

не имеет корней.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение:

( 2)3 ( 2) 3 x + 3 x =(8x− 5a) + 3(8x− 5a)

Функция $f(x)= x3+ 3x$ возрастает на всей вещественной оси. Заметим, что в нашем уравнении стоит с одной стороны $f(x2)$ , а с другой $− f(8x − 5a)$ . Тогда уравнение переписывается как

(2) f x = f(8x − 5a)

Но $f$ монотонна, откуда наше уравнение равносильно равенству аргументов

2 x = 8x− 5a

Последнее уравнение не имеет корней при $a> 156$ .

Ответ:

$a > 16 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92090

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение $√a-− 2x= x3+ 8$ имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Из оценки подкоренного выражения следует, что $x ≤ a 2$ . Заметим. что функция в левой части уравнения монотонно убывает, а функция в правой части - монотонно возрастает. Поэтому при всех $a$ уравнение имеет не более одного решения. Предположим, что $a< −4$ . Тогда $x <− 2$ , откуда на области определения левой части правая часть всегда меньше 0 , а левая - не меньше 0 , поэтому нет решений. Если же $a≥ −4$ , то при $x = −2$ левая часть определена, а правая равна 0 , а при $a x= 2$ левая часть равна 0 . а правая не меньше 0 , поэтому на отрезке $[ a] −2,2$ есть хотя бы один корень, но так как мы показали, что корней не больше 1 , то он единственный.

Ответ:

$a ≥−4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#102477

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел

3 x + 3x +a − 9

a+25−x− 3x− 1

положительно.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути задача сводится к тому, что если на координатной плоскости нарисовать верикальную прямую, то верхняя из точек её пересечения с графиками функций из условия должна быть выше оси абцисс. Какой тогда крайний случай такой прямой стоит рассмотреть?

Подсказка 2

Рассмотрите случай, когда она попала в точку пересечения графиков функций из условия! Где должна располагаться это точка?

Подсказка 3

Точка перечения графиков из условия должна располагаться выше оси абцисс! Можем попробовать её угадать ;)

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= x3+3x+ a− 9$ строго возрастает, а $g(x)= a+ 25−x − 3x−1$ — убывает. Поэтому указанное в задаче требование на параметр $a$ означает, что точка пересечения графиков этих функций лежит выше оси абсцисс, т.е. их значение в корне $x =2$ (угадываемом) уравнения

3 5−x x−1 x + 3x +a − 9= a+ 2 − 3

положительно, т.е.

3 1 a+ 2 − 3 > 0

a> −5

Ответ:

$(−5;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90802

Укажите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2+ 2y2+2y(x− a)+ a2 = 0 2−2−y⋅log x <1 2

имеет решения, и найдите эти решения.

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно рассмотрите первое уравнения, можно ли его красиво преобразовать? Аккуратная работа с ФСУ позволит нам установить соотношения между х, у и а.

Подсказка 2

Итак, подставляя полученные соотношения, мы получаем интересное неравенство, но как его решить? Попробуйте показательную функцию отправить в правую часть, а логарифм — в левую. Что можно сказать о полученном неравенстве?

Подсказка 3

Оцените возрастание/убывание функций с каждой стороны, чтобы сделать вывод о количестве пересечений и примерном виде графиков этих функций. Так мы получим решения для х.

Подсказка 4

Осталось воспользоваться найденными в начале соотношениями между х и а, чтобы установить искомые значения параметра!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$

Из первого уравнения имеем $2 2 (x+ y) +(y− a)= 0⇒ x= −y, y = a.$ Подставим в неравенство:

−2+x 2 ⋅log2x< 1

x 2 log2x< 4

Поскольку функция в левой части монотонно возрастает, то меньше 4 она будет при всех $x$ до момента равенства. А равенство $2xlog2x =4$ достигается при $x = 2.$

В итоге с учётом ОДЗ $x∈ (0;2)$ , откуда $a∈ (− 2;0)$ , причём для каждого значения существует ровно одна пара $(x,y)= (−a,a).$

Ответ:

$a ∈(−2;0), (x,y)= (−a,a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#114023

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

−|x−a| ( 2 ) −x2−2x 9 log3√5 x + 2x +3 + 3 log1∕5(2|x − a|+ 2) =0

имеет ровно три различных решения.

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем максимум преобразований по свойствам степеней и логарифмов, чтобы слагаемые приняли более похожий друг на друга вид.

Подсказка 2

После переноса вычитаемого в правую часть в обеих частях равенства будет степень тройки умножаться на логарифм по основанию 5.

Подсказка 3

Обратите внимание на то, как связаны между собой степень тройки и аргумент логарифма в каждой части.

Подсказка 4

Рассмотрите функцию f(t) = 3ᵗlog₅(t+2).

Подсказка 5

f(t) возрастает, поэтому в обеих частях можно перейти к равенству на t:)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов и степеней уравнение переписывается в виде

−2|x−a| ( 2 ) −(x+1)2+1 3 ⋅3⋅log5 (x+ 1) +2 − 3 log5(2|x− a|+2)= 0

Перенесём вычитаемое направо, поделим обе части на 3 и на обе степени троек:

(x+1)2 ( 2 ) 2|x−a| 3 log5 (x+ 1) +2 = 3 log5(2|x− a|+2)

Пусть $f(t)=3tlog (t+2). 5$ Эта функция монотонно возрастает на всей области определения как произведение возрастающих функций, поэтому

( 2) f (x+ 1) = f(2|x− a|)

2 (x +1) = 2|x− a|

Три решения будут в случае касания для $a= −1∕2,a =− 3∕2$ и в случае когда $a= −1,$ поскольку совпадают вершины параболы $y =(x+ 1)2$ и "уголка" $y = |x+ 1|.$

Ответ:

$− 3;−1;− 1 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47067

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$