Тема Задачи с параметром

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31629

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

||x− a|+2x|+4x =8|x+1|

не имеет ни одного корня.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, придётся раскрыть один из модулей, естественно мы выберем наименее «страшный», который в правой части. Главная идея при раскрытии этого модуля — обратить внимание на коэффициент перед x, а также подумать, какой коэффициент перед x может быть в левой части!

Подсказка 2

Хм, в правой части по модулю он равен 8. А в левой части? Опа, а в левой при раскрытии модуля он по модулю не больше 7. Что это значит, учитывая, что нам нужно отсутствие решений?

Подсказка 3

Конечно, если перенести всё в одну сторону, то монотонность определяется только раскрытием модуля с коэффициентом 8. Можно схематично нарисовать график полученной кусочно-линейной функции. В какой точке получается ключевое значение?

Подсказка 4

x = -1 будет точкой экстремума, а наличие решений определяется тем, какой знак имеет функция в этой точке. Осталось только подставить x = -1 и решить неравенство для а!

Показать ответ и решение

Рассмотрим эквивалентное уравнение

8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|=0

Левая часть при каждом фиксированном параметре $a$ является кусочно-линейной функцией $f(x)= 8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|$ , характер монотонности которой определяется первым модулем $8|x +1|.$

При $x≤ −1$ коэффициент перед $x$ равен $− 8− 4± 1±2 <0,$ поэтому функция $f(x)$ является убывающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

При $x≥ −1$ коэффициент перед $x$ равен $8− 4± 1± 2>0,$ поэтому функция $f(x)$ является возрастающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

Все значения больше $f(− 1)= 4− ||1+ a|− 2|$ достигаются, поэтому уравнение $f(x)= 0$ не имеет решений, если $0< f(−1),$ ведь тогда $0 <f(x)$ при любом $x.$

||a +1|− 2|− 4< 0 ⇔ |a+ 1|− 2∈ (−4,4)

|a+ 1|∈[0,6) ⇔ a +1∈ (−6,6) ⇔ a∈(−7;5)

Ответ:

$(−7;5)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80594

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

4x− |3x− |x+a||=9|x− 1|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

4x− |3x− |x+ a||= 9|x − 1|⇔ f(x) =0

где функция

f(x)= 9|x− 1|− 4x+ |3x − |x+ a||

убывает при $x ≤1$ (так как при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ равен $− 9 − 4± 3± 1< 0$ ) и неограниченно возрастает при $x≥ 1$ (коэффициент при $x$ равен $9− 4±3 ±1 >0$ ), следовательно, $E(f)=[f(1);+∞ )$ Уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда