Тема . Задачи с параметром

Симметрия (и чётность) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90180

При каких a  система

{ 2|x|+ |x|= y+x2+ a
  x2+ y2 = 1

имеет единственное решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что примечательного в этой системе в связи с переменной х? Тогда в каких случаях решений системы может быть нечётное количество?

Подсказка 2

Мы однозначно нашли значение х, подстановкой мы можем найти 2 возможных значения у и соответствующие им значения а. Но стоит проверить, будет ли в этих случаях решение системы единственным?

Подсказка 3

Для одного из значений параметра мы можем подбором найти более чем одно решение системы. Для второго попробуйте сделать оценку каждой из переменных, чтобы доказать однозначность решения!

Показать ответ и решение

Заметим, что если (x ,y )
  0 0  — решение системы, то (−x ,y )
   0 0  — тоже решение системы. Тогда решение может быть единственным только при x = 0.

Подставим x =0  в систему:

{  0
  22+ 0=2 y+ 0+ a
  0 + y = 1

Откуда

⌊ { a= 2
||   y = −1
|| { a= 0
⌈   y = 1

Значит, единственное решение системы может быть получено только при a= 0  или a= 2.  Сделаем проверку.

При a= 2  у системы не единственное решение.

{ 2|x|+ |x|= y+x2 +2
  x2+ y2 = 1

Например, среди решений системы — (0,−1),(1,0).

При a= 0  решение системы единственно.

{ 2|x|+ |x|= y+ x2
  x2 +y2 = 1

Из второго равенства получаем, что x≤ 1,y ≤ 1.  Тогда

2|x| ≥ 1≥ y

|x|≥ x2

Значит, равенство 2|x|+ |x|= y+ x2  возможно только при выполнении условий:

|x|=x2 и 2|x| = 1= y

То есть y = 1.  И с учётом второго равенства x =0.  Решение, действительно, единственное.

Ответ:

 a =0

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!