Тема Задачи с параметром

Симметрия (и чётность) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86348

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

∘-2----- x2+-324- 2 x + 324− f(x)≥ f(x)− a − a

имеет единственное решение, если

∘--------- f(x)= g2(x)− 400, g(x)= 19+ 2cos2x+ 4cosx.

Источники: ШВБ - 2024, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать одновременно и с иксами, и с несколькими функциями не очень хочется. Кроме того, мы можем заметить в условии одинаковые части, например, x² + 324 и f(x) - a. Какими двумя заменами можно привести данное нам неравенство к неравенству от двух функций?

Подсказка 2

Пусть u(x) = √( x² + 324), а v(x) = f(x) – a. В какую совокупность превращается наше неравенство после преобразования, и что мы можем сказать про число решений каждого выражения в данной совокупности?

Подсказка 3

После подстановки наших функций и приведению неравенства к общему знаменателя получится неравенство, которое будет равносильно совокупности u(x) = v(x) или v(x) < 0.

Подсказка 4

Неравенство v(x) < 0 не может иметь единственного решения. Значит, наша задача сводится к тому, чтобы найти a, при которых уравнение a = f(x) - √( x² + 324) имеет единственное решение. На какой способ решения данного параметра нам могут намекнуть квадраты и косинусы в функциях?

Подсказка 5

Функции квадрата и косинуса являются чётными, значит, и f(x) - √( x² + 324) будет четной функцией. Тогда как найти a, при которых уравнение может иметь единственное решение?

Подсказка 6

Если четная функция имеет положительное решение, то она имеет и отрицательное решение, а значит, единственным решением может быть только если это x = 0. Следовательно, a = f(0) – 18 = -3. Теперь мы получили a, при котором число решений является гарантированно нечетным, но не показали, что решение единственно. Подставьте a = -3 в уравнение и докажите, что решение кроме x = 0 быть не может.

Подсказка 7

После подстановки мы получим уравнение f(x) + 3 = √( x² + 324). Решать такое уравнение мы не хотим и не умеем, какие еще способы можно применять в подобных случая?

Подсказка 8

Давайте воспользуемся методом оценки. Правая часть уравнения, очевидно, будет больше либо равна 18, а достигается данное значение при x = 0, остается только доказать, что f(x) + 3 при любых x будет не больше равно 18.

Показать ответ и решение

В обозначениях $u(x)= √x2+-324, v(x)=f(x)− a$ исходное неравенство примет вид

(u(x))2 2u(x) ≥-v(x)-+ v(x)

0≥ (u(x)−-v(x))2- v(x)

u(x)= v(x) или v(x)< 0

Функция $v(x)$ непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства $v(x)< 0$ не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай $v(x)=u(x).$ Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять $v(x)< 0,$ ведь тогда $u(x)= √x2+-324< 0,$ что невозможно.

Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения

∘-2----- a= f(x)− x + 324

Заметим, что функция $g(x)$ чётная, поэтому и функция $f(x)$ чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только $x =0.$ Сначала подставим $x =0$ и найдём, при каких $a$ это значение является решением:

√--- a= f(0)− 324= 15− 18= −3

Теперь проверим, что при $a= −3$ у уравнения

∘-2----- f(x)+ 3= x + 324

нет других решений, кроме $x =0.$ Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше $√324= 18,$ причём равенство достигается только при $x= 0.$ А вот левая часть не больше 18, потому что

∘ -2------- f(x)= g(x)− 400≤ 15,

так как

∘ ------2 |g(x)|≤ 400 +15 = 25,

ведь по неравенству треугольника

|19+ 2cos2x +4cosx|≤ |19|+ |2cos2x|+ |4cosx|≤ 19+ 2+ 4=25

Итак, при $a= −3$ действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.

Ответ: -3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90180

При каких $a$ система

{ 2|x|+ |x|= y+x2+ a x2+ y2 = 1

имеет единственное решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что примечательного в этой системе в связи с переменной х? Тогда в каких случаях решений системы может быть нечётное количество?

Подсказка 2

Мы однозначно нашли значение х, подстановкой мы можем найти 2 возможных значения у и соответствующие им значения а. Но стоит проверить, будет ли в этих случаях решение системы единственным?

Подсказка 3

Для одного из значений параметра мы можем подбором найти более чем одно решение системы. Для второго попробуйте сделать оценку каждой из переменных, чтобы доказать однозначность решения!

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x ,y ) 0 0$ — решение системы, то $(−x ,y ) 0 0$ — тоже решение системы. Тогда решение может быть единственным только при $x = 0.$

Подставим $x =0$ в систему:

{ 0 22+ 0=2 y+ 0+ a 0 + y = 1

Откуда

⌊ { a= 2 || y = −1 || { a= 0 ⌈ y = 1

Значит, единственное решение системы может быть получено только при $a= 0$ или $a= 2.$ Сделаем проверку.

При $a= 2$ у системы не единственное решение.

{ 2|x|+ |x|= y+x2 +2 x2+ y2 = 1

Например, среди решений системы — $(0,−1),(1,0).$

При $a= 0$ решение системы единственно.

{ 2|x|+ |x|= y+ x2 x2 +y2 = 1

Из второго равенства получаем, что $x≤ 1,y ≤ 1.$ Тогда

2|x| ≥ 1≥ y

|x|≥ x2

Значит, равенство $2|x|+ |x|= y+ x2$ возможно только при выполнении условий:

|x|=x2 и 2|x| = 1= y

То есть $y = 1.$ И с учётом второго равенства $x =0.$ Решение, действительно, единственное.

Ответ:

$a =0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90181

Найдите все значения параметра $b$ , при которых уравнение

2 2 b x − btg(cosx)+ 1= 0

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в уравнении фигурируют х² и cos(x), что мы можем сказать об этих функциях?

Подсказка 2

Конечно это чётные функции! Ну тогда если x = t — решение уравнения, какое ещё значение х будет нам подходить?

Подсказка 3

x = -t тоже будет являться решением! Но если решение должно быть только одно, получается, что оба этих корня должны совпасть, то есть t должно равняться -t, тогда какое число точно должно быть корнем уравнения?

Подсказка 4

Значит, у нас не должно быть никаких корней кроме нуля! Тогда мы можем подставить 0 и найти b) Только не забудьте убедиться в том, что при найденном b у нас действительно нет никаких дополнительных корней

Показать ответ и решение

Предположим, что $x= 0$ не является решением. Тогда решений чётное число, поскольку если есть решение $x =t,$ то есть и решение $x =− t.$ Противоречие с условием о единственном решении.

Тогда $x = 0$ является решением:

2 b ⋅0− btg(cos0)+ 1= 0

1-- b= tg1

При этом значении $b$ у уравнения

b2x2+ 1= btg(cosx)

решений не просто нечётное число, а ровно единственное, поскольку при $-x-2 x⁄= 0 (tg1) + 1> 1,$ а $tg(cosx) tg1 tg1 < tg1 = 1$ в силу монотонности тангенса и области значений косинуса.

Ответ: ctg 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96272

При каких значениях $a$ уравнение

2 cos2x+2cosx− 2a − 2a+ 1= 0

имеет ровно одно решение на промежутке $[0;2π)?$

Показать ответ и решение

Преобразуем наше исходное уравнение:

2 2 2⋅cosx +2 ⋅cosx− 2a − 2a= 0

cos2x +cosx− a2− a= 0

На участке $[0;2π)$ любое значение косинуса будет давать 2 значения угла, кроме точек $x= 0$ и $x= π$ . Разберем эти случаи.

Подставим в уравнение $x= 0:$

2− a2− a =0 =⇒ a= {−2;1}

(a) При $a =1 :$

cos2x +cosx− 1− 1 =0 =⇒ x= 0

(b) При $a =− 2:$

cos2x +cosx− 4+2 =0 =⇒ x= 0

Подставим в уравнение $x= π :$

1 − 1− a2− a= 0 =⇒ a ={−1;0}

При $a= −1 :$

cos2x+ cosx − 1+ 1= 0 =⇒ cosx= {−1;0}

Тогда получаем 2 решения, следовательно, $a =− 1$ не подходит.

Ответ: -2; 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96273

При каких значениях $a$ система

{ ax2+ a− 1 =y − |sinx|; tg2 x+y2 =1

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Заметим, что если есть решение $(x; y),$ то и есть решение $(− x; y).$ Следовательно, для существования единcтвенного решения нужно, чтобы $x =0.$ Тогда, получаем:

{ a−2 1=y y =1

Тогда получаем два значения для $a:$

[ a= 0 a= 2

Проверим, что при данных параметрах $a$ действительно единственное решение.

(a) При $a =0 :$

{ − 1= y− |sinx| tg2x+ y2 = 1

{ y = |sinx|− 1 tg2x +sin2x +2|sinx|+1 =1

tg2x +sin2x+ 2|sinx|=0

Каждое из слагаемых больше либо равно $0,$ значит равенство достигается, когда все слагаемые это $0.$

{ sin x= 0 tg2x= 0 =⇒ x= πk, k∈ ℤ

Не единственное решение, значит $a= 0$ не подходит.

(b) При $a =2 :$

{ 2x2+ 2− 1= y− |sinx| tg2x+ y2 = 1

{ y = 2x2 +|sinx|+ 1 tg2x+ y2 = 1

tg2x+ (2x2+ |sinx|+1)2 = 1

Первое слагаемое больше либо равно $0,$ второе слагаемое больше либо равно $1.$ Значит равенство достигается, при следующих условиях:

{ tg2x =0 (2x2+ |sinx|+1)2 = 1

Так как внутри скобок положительное значение, то случай $− 1$ не рассматривается.

{ x= πk, k∈ ℤ 2x2 +|sinx|+ 1=1

{ x= πk, k ∈ℤ 2x2+ |sin x|= 0

Во втором уравнении равенство достигается, когда из каждых слагаемых равно $0.$

{ x= πk, k ∈ℤ x= 0

Тогда получаем, что существует единственное решение $x =0.$ Следовательно, параметр $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#96274

При каких значениях параметра $b$ система уравнений

{ x2+y2 = 2; |y|− x =b

имеет ровно три решения?

Показать ответ и решение

Заметим, что если существует решение $(x, y),$ то пара $(x, −y)$ тоже будет решением. Тогда для того, чтобы было $3$ решения нужно, чтобы $y =0.$ Следовательно,

{ 2 2 √- x + 0 = 2 =⇒ x =± 2 b= −x

Тогда

{ x= −√2 { x= √2 b= √2 или b= −√2

Сделаем проверку, что при таких $b$ будет ровно 3 решения.

(a) При $b= −√2-$ получаем

{ x2+ y2 =2 |y|− x= −√2

{ |y|= x− √2 x2+ (x − √2)2 = 2

x2+ x2− 2√2x +2= 2

x(x− √2)= 0

Тогда $x = 0$ или $√ - x = 2.$ Но при $x =0$ получаем, что $√- |y|= − 2,$ чего не может быть. Значит, $√ - b= − 2$ не подходит.

(b) При $√ - b = 2$ получаем

{ x2 +y2 =√2 |y|− x = 2

{ |y|= x− √2 x2+ (x +√2)2 = 2

x2+ x2− 2√2x +2= 2

x(x+ √2)= 0

Тогда $x = 0$ или $√- x =− 2.$ Следовательно, получаем 3 пары решений: $√ - √- √- (0; 2), (0;− 2), (− 2;0).$

Итого, подходит только $√- b= 2$ .

Ответ:

$b= √2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63743

Дано действительное число $t$ , отличное от $0,1,− 1,1 2$ и $2.$

Решите уравнение

(x2 − x +1)3 (t2 − t+ 1)3 -x2(x-− 1)2-=-t2(t−-1)2--

Ответ может зависеть от $t.$

Источники: ОММО-2023, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте представим, что мы раскрыли скобки и избавились от знаменателей, что мы получим?

Подсказка 2

Мы получим уравнение 6-й степени! А значит, у него точно не больше 6 корней. Тогда есть соблазн попробовать угадать эти 6 корней...

Подсказка 3

Легко видеть, что t - корень. Какие замены можно попробовать сделать, чтобы найти ещё немного корней?

Подсказка 4

Левая дробь не меняется при замене x на 1-x и на 1/x, поэтому получаем новые корни, какие? Попробуйте набрать как можно больше.

Подсказка 5

Теперь лишь остаётся доказать, что при данных ограничениях на t шесть корней, которые вы нашли, всегда различные.

Показать ответ и решение

Докажем два утверждения:

если $x 0$ - решение уравнения, то и $1 − x 0$ также решение; действительно,

( ) (1− x0)2− (1− x0)+1 3 (x20− x0+ 1)3 -(1−-x0)2((1−-x0)− 1)2 =-x2(x0−-1)2- 0

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

если $x0$ - решение уравнения, то и $1x- 0$ также решение; действительно,

( )3 (1∕x0)2− (1∕x0)+ 1 (x20− x0+1)3 -(1∕x0)2((1∕x0)− 1)2-=-x20(x0−-1)2-

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

Заметим теперь, что $t$ - точно корень исходного уравнения. Тогда, корнями являются также числа $1∕t,1− t$ , а тогда и $11−t,1− 1−1t = t−t1,1− 1t = t−t1$ .

Можно показать, что при данных ограничениях на $t$ получившиеся 6 чисел - различны. Кроме того, исходное уравнение при $x ⁄=0,x⁄= 1$ равносильно уравнению 6 -й степени, которое не может иметь больше 6 корней. Значит, найденные числа и есть все корни.

Ответ:

$t,1,1 − t,-1,-t-,t−1 t 1− tt−1 t$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64374

Найдите все значения параметра $a$ , при которых имеет единственное решение система

{ (x2+1)a =y − cosx; sin4x+ |y|= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (-x₀, y₀) — тоже решение! Каким тогда должен быть x? Какие выводы можно сделать из того, что такой x подходит?

Подсказка 3

Единственное решение должно иметь вид (0, у₀)! Подставив х = 0 в систему, мы можем найти значения а, которые нам могут подойти. А как проверить, подходят ли нам найденные значения?

Подсказка 4

Нужно подставить найденные a и напрямую найти решения! Нужно лишь исключить такие a, при которых мы случайно найдем лишние решения.

Показать ответ и решение

Если система имеет решение $(x,y ), 0 0$ то решением также является пара $(−x ,y). 0 0$ Единственное решение может иметь вид только $(0;y ), 0$ тогда проверим, когда $x= 0$ подходит:

{ a= y− 1 =⇒ a =− 2,a= 0 |y|= 1

Теперь нужно выяснить, при каких из этих значениях $a$ пара со значением $x= 0$ будет единственным решением исходной системы.

При $a= 0$ получим $y =cosx$ , тогда во второе подойдёт $x = π 2$ , то есть $a= 0$ не подходит.

Если же $a =− 2$ , то из первого $y = cosx − 2− 2x2 ≤ −1$ , где равенство достигается только при $x= 0$ . Осталось заметить, что из второго уравнения $|y|≤1$ , потому подойдёт только $y = −1$ и $x =0$ .

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#66210

Найти все значения параметра $t$ , при которых система

{ x2 +y2 = 6t xy =t2− 4

имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что пара (х₀; у₀) является решением системы, какие ещё пары появляются в этом случае? Влияет ли перестановка местами переменных на пару решений? А смена знака?

Подсказка 2

Итак, пара (х₀; у₀) даёт нам сразу 4 решения системы. Но в каком случае 4 решения превращаются в 2? Есть два варианта соотношений между х₀ и у₀, когда это возможно. Для каждого из них найдите подходящие значения t

Подсказка 3

Два из четырёх возможных значений отсекаются сразу, поскольку сумма квадратов никак не может быть отрицательной. Другие случаи можно разобрать подстановкой: ФСУ поможет нам решить систему!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $(x0,y0)−$ решение данной системы. Предположим, что $x0 ⁄= y0,x0 ⁄= −y0,$ тогда $(y0,x0)−$ тоже решение системы. Кроме того, так как хотя бы одно из чисел $x0,y0$ не равно $0$ (иначе бы $x0 =y0 =0),$ то возникают дополнительные пары $(−x0,−y0),(−y0,− x0).$ Но ведь должно же быть два решения, значит, $x0 = y0$ или $x0 =−y0.$ Тогда разберем случаи.

1.

$x0 = y0.$ Получим:

{ 2x20 =6t, x20 = t2− 4.

Значит,

2 3t= t − 4,

t2− 3t− 4= 0,

t= −1;4.

2.

$x0 = −y0.$ Имеем:

{ 2 2x02 = 6t,2 −x0 =t − 4.

Значит,

−3t= t2 − 4

2 t + 3t− 4= 0

t= 1;− 4.

Заметим, что нет гарантии того, что найденные значения $t$ будут подходить под условие задачи, так как мы нашли $t,$ при условии, что пара вида $(x0,x0)$ будет решением. Теперь проверим полученные значения $t.$

1.

$t= −1;−4.$ Тогда $x2+ y2 <0.$ Но $x2+ y2 ≥0,$ значит, такое $t$ не подходит.

2.

$t= 4.$ Система принимает вид:

{ x2 +y2 = 24 xy =12

Заметим, что из системы следует, что $2 2 2 (x− y) =x − 2xy+ y =24− 2⋅12= 0.$ Значит, $x =y.$ Тогда $2 x =12.$ Откуда имеет две пары $√- √ - √- √- (2 3,2 3);(−2 3,−2 3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

3.

$t= 1.$ Система принимает вид:

{ x2+ y2 =6 xy = −3

Заметим, что из системы следует, что $(x+ y)2 =x2+ 2xy+ y2 =6 − 2⋅3= 0.$ Значит, $x= −y.$ Тогда $x2 = 3.$ Откуда имеет две пары $(√3,−√3-);(− √3,√3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

Второе решение.
Решим задачу графически. Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $√ -- 6t$ или пустое множество (при $t< 0).$ Значит $t≥ 0.$ Второе уравнение задает гиперболу, либо совокупность прямых $x= 0,y =0 при t= −2;2.$ Тогда будет ровно $2$ решения, когда окружность касается гиперболы, то есть расстояние от начала координат до графика второго уравнения будет равно $√-- 6t.$

$PIC$

Пусть $(a,b)$ лежит на гиперболе, тогда

a⋅b= t2− 4.

Квадрат расстояния от начала координат до этой точки равно:

a2+ b2 = a2 + (t2− 4)2= (a− |t2− 4|)2+2|t2− 4|. a2 a

Тогда расстояние от начала координат до графика второго уравнения (наименьшее расстояние от начала координат до точки на графике второго уравнения) будет равно $∘ ------ 2|t2− 4|.$ Имеем:

------ ∘ 2|t2− 4|= √6t

2 2|t − 4|= 6t

|t2− 4|=3t

[ t2− 4= 3t t2− 4= −3t

[ t2− 3t− 4 =0 t2+ 3t− 4 =0

[ t= ±1 t= ±4

Так как $t≥ 0,$ то $t∈{1;4}.$

Ответ:

$1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#77205

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x2+2a2−2x− 3a−4 1 2 + loga2(|x− 1|+ 1)= 8

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ a ⁄=0, a ⁄=±1.

Преобразуем выражение:

(x−1)2+2a2− 3a−5 1 2 + loga2(|x− 1|+ 1)= 8.

Т.к. переменная и параметр находятся и в степени, и в логарифме, то обычного аналитического решения не придумать. Но в задаче спрашивается значение параметра, при котором существует единственное решение. Это наталкивает на мысль, что нужно использовать нестандартный метод решения. Попробуем найти симметрию в уравнении.

Если $x$ - решение этого уравнения, представим его в виде $x= 1+ t.$ Тогда если есть какое-то решение такого вида, то обязательно найдется другое решение вида $x= 1− t.$ Тогда можно выделить следующую симметрию:

{ x= 1+t, x= 1− t.

Тогда единственное решение достигается если

1+t= 1− t⇒ t= 0⇒ x= 1.

Тогда подставим $x= 1$ в уравнение, найдем параметр $a,$ и проверим что при полученных параметрах $a$ достигается единственное решение.

При $x= 1:$

22a2−3a−5+log2(1)= 1, a 8

2a2−3a−5 1 2 2 = 8 ⇒ 2a − 3a− 5 =− 3,

1 2a2− 3a− 2= 0⇒ a =2,a= −2.

Проверим, что при данных $a$ достигается единственное решение.

При $a= 2:$

(x−1)2−3 1 2 + log4(|x− 1|+ 1) =8

Первое слагаемое точно больше либо равно $1 8$ , второе слагаемое больше либо равно $0.$ Тогда слева чтобы достигалось равенство нужно чтобы $x$ равнялся $1.$ Единственное решение.

При $1 a= − 2 :$

2 1 2(x−1)−3 +log14(|x− 1|+ 1) =8,

2(x−1)2− 2− log4(|x − 1|+1)= 1. 4

Рассмотрим $x= 2, и x= 4:$

1 − 1 < 1,− при x= 2 2 4

7 1 2 − 2> 4,−при x= 4

Это означает, что есть решение между $2$ и $4$ , помимо решения $x= 1.$ Тогда это значение параметра не подходит, т.к. при данном значении не единственное решение уравнения.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31919

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2+ cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= acos14x

имеет ровно одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит жутко страшно. Но на что нам обычно при решении параметров может намекать фраза "ровно одно решение"?

Подсказка 2

Ага, на чётность (в общем случае симметрию) или периодичность, в общем можно подумать в сторону свойств функций, а не решать в лоб.

Подсказка 3

Вы ещё здесь? Ладно, пусть какое-то число является решением. Прибавьте к нему 2π и подставьте в уравнение. Всё, делаем вывод, господа и господамы!

Показать ответ и решение

Воспользуемся симметрией уравнения за счёт периодичности тригонометрических функций.

Пусть уравнение имеет какое-то решение $x= x0$ , то есть уравнение при подстановке $x =x0$ обращается в тождество. Тогда $x =x0+ 2π$ тоже является решением, ведь при подстановке в уравнение значение всех тригонометрических функций не изменится и будет такое же, как для $x= x0$ , снова получится тождество. А раз так, то ровно одно решение уравнение иметь не может.

Ответ:

Ни при каких

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32513

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 x − 2asin(cosx)+a = 0

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переменная есть только в квадрате и в функции косинуса. Какое свойство функции сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество корней и какое число тогда точно должно быть корнем?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является корнем! Но не забывайте, что при этих значениях параметра могут быть и другие решения, так что необходима дополнительная проверка.

Подсказка 4

Для проверки значения параметра с синусом стоит оценить значения косинуса числом и сравнить величины sin(1) и sin(cos(x)) между собой.

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 2 x − 2a sin(cosx)+a = (−x) − 2asin(cos(−x))+ a .

Значит, если $x$ — корень, то $− x$ — тоже корень. По условию корень один, значит, $x= −x =0$ обязательно должно быть решением. Тогда $− 2asin(1)+a2 = 0$ . Так что либо $a =0$ , либо $a= 2sin1$ .

Теперь решений точно будет нечётное число. Но надо отдельно проверить, при каких значениях параметра решение единственно.

Если $a= 0$ , то уравнение $x2 = 0$ имеет один корень.

Если $a= 2sin1$ , то в силу $cosx ∈[−1,1]$ замечаем, что $sin(cosx)≤sin 1$ . Тогда при подстановке в уравнение $2 2 2 0 =x − 2⋅2sin1⋅sin(cosx)+ (2sin1)≥ 0− 2⋅2sin1⋅sin1 +(2sin1) = 0$ . Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Поэтому если корень есть, то это только $x =0$ . А корень $x= 0$ подходит в уравнение.

Ответ:

${0;2sin1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32514

Найдите все значения параметра $b$ , при которых система уравнений

{ (x2 +1)b= y+ cos2x; 2|sinx|+ |y|=2

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переменная х есть только в квадрате, в функции косинуса и под модулем. Какое свойство системы сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество пар решений и какое число тогда точно должно быть на месте х в паре?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является решением вместе с некоторым значением y! Но не забывайте, что при этих значениях параметра могут быть и другие решения, так что необходима дополнительная проверка.

Подсказка 4

Для проверки одного из значений стоит использовать периодичность тригонометрических функций. А второе можно победить с помощью различных оценок триг. величин и остальных переменных из уравнений!

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x,y)$ решение, то и $(−x,y)$ решение. Значит, $x= 0$ и если $(x= 0, y = y ) 0$ — решение, то

b= y0+1

1 +|y0|= 2

Из второго уравнения $y0 =±1$ , откуда $b= 0$ или $b =2$ .

Если $b= 2$ , то $2(x2+ 1) =y+ cos2x$ . Левая часть хотя бы $2$ , а $cos2x≤ 1$ . Значит, $y ≥ 1$ . С другой стороны, $2|sinx|+ |y|= 2$ , следовательно, $|y|≤ 1$ . Отсюда $y = 1$ и $2≤ 2(x2+ 1)=y +cos2x ≤2$ , поэтому единственное решение $x= 0$ , $y = 1$ .

Если $b= 0$ , то

{ 0 =y+ cos2x; 2|sinx|+ |y|= 2

И если $(x,y)$ — решение, то $(x+ 2π,y)$ — тоже решение. Так что решений уже больше, чем одно.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32515

При каких значениях параметра $a$ система

{ x4− (a − 1) √a-+3-y+ a4 +2a3− 9a2− 2a+ 8= 0; y = √a-+3⋅x2

имеет ровно три различных решения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на переменную х и на степени, в которых она входит в уравнения. Какое свойство системы сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество пар решений и какое число тогда точно должно быть на месте х в одной из пар?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является решением вместе с некоторым значением y! Но не забывайте, что при этих значениях параметра количество решений в целом может быть разным, так что необходима дополнительная проверка.

Показать ответ и решение

Если $(x,y)$ решение, то и $(−x,y)$ тоже решение. Всего решений должно быть нечетное число, откуда в одном из них $x= 0$ . Так как $√ ---- 2 y = a+3 ⋅x$ , то в этом решении $y = 0$ . Значит,

4 3 2 a + 2a − 9a − 2a+8 =0.

Разложим на множители:

a4+2a3− 9a2 − 2a+ 8= (a − 1)(a3+ 3a2− 6a− 8)=

= (a− 1)(a +1)(a2+ 2a− 8) =

= (a − 1)(a+ 1)(a+ 4)(a− 2)=0 ⇐⇒ a∈ {−4;±1;2}

Теперь решений точно будет нечётное число. Но надо отдельно проверить, при каких значениях параметра решений ровно три.

Раз мы знаем, что $a4+2a3− 9a2− 2a+ 8= 0$ , то нам нужно решить систему:

{ √---- x4−√(a-− 1) a+ 3y = 0; y = a +3x2

Отсюда $a≥ −3$ и $x4− (a− 1)(a+ 3)x2 =0$ . Значение $a =− 4$ не подходит, потому что $√---- a+ 3$ будет не определён.

Если $a= −1$ , то $x4+ 4x2 =0$ и решение только одно: $x= y = 0$ .

Если $a= 1$ , то решение только одно: $x = y = 0$ .

Если $a= 2$ , то $x4− 5x2 = 0$ и решения $x= y = 0$ и $√- x= ± 5$ и $√- y =5 5$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#34205

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-2x2 x2− 1 2 5 21+x + acos x +a =4

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение очень противное, поэтому давайте здесь поищем красоту! Если х является решением, то какое еще значения будет являться решением?

Подсказка 2

Да, 1/x ! Значит останется найти решения x и при каких а эти решения будут единственными!

Подсказка 3

Отлично, получили значение а= -3/2 и а = 1/2. В первом случае, случае аргумент второго слагаемого очень интересно ведет себя в окрестности х=0, попробуйте этим воспользоваться, чтобы проанализировать количество решений!

Подсказка 4

Во втором же случае попробуйте оценить первое слагаемое снизу и выяснить в какой точке оно принимает данное значение! Отсюда оценка и на количество решений данного уравнения.

Показать ответ и решение

Подставим $1∕x$ вместо $x$ ( $x⁄= 0$ из ОДЗ)

--2x-- -2∕x--- --2x- x2− 1 1∕x2− 1 1−-x2 x2−-1 1+ x2 → 1+1∕x2 = x2+ 1, x → 1∕x = x = − x

Но поскольку $( 2 ) 2 cos − x-−x1 = cosx−x1$ , то левая часть не меняется и если $x$ — решение, то и $1∕x$ — решение.

У уравнения может быть один корень только в случае, если $x= 1∕x$ , то есть $x= ±1$ обязательно будет решением.

$x =1$ — решение. Тогда
$21+a +a2 = 5 ⇐ ⇒ a2+ a+ 3 =0 4 4$
Решений относительно $a$ нет, $x= 1$ не может быть решением.
$x =− 1$ — решение. Здесь
$2−1 +a+ a2 = 5 ⇐⇒ a2+ a− 3= 0 ⇐⇒ a= − 3 ,a = 1 4 4 2 2$
Пусть $a = 1 2$ . В этом случае
$12+xx2 1 x2−-1 2 + 2cos x = 1$
Рассмотрим $x → 0$ снизу. Тогда первое слагаемое будет близко к единице, а аргумент второго будет возрастать к бесконечности, поскольку в знаменателе почти $0$ , а в числителе почти $− 1$ . Сам косинус при этом будет непрерывно колебаться между $− 1$ и $1$ , тогда сумма будет колебаться между $1 − 12 ⋅1= 12$ и $1 + 12 ⋅1= 32$ с небольшой погрешностью, то есть будет проскакивать значение $1$ , откуда решений больше одного.
Пусть $a =− 3 2$ . Получим
$-2x-- 3 x2− 1 21+x2 −2 cos--x-- =−1$
Заметим, что $-2x2-∈[−1,1] 1+x$ , поскольку $2|x|≤1 +x2$ , откуда $212+xx2 ≥ 1 2$ , равенство достигается только при $x =− 1$ . Тогда
$-2x2 3 x2− 1 1 3 21+x − 2cos--x--≥ 2 − 2 = −1$
И равенство достигается только при $x= −1$ .

Ответ:

$− 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#37110

Найти все значения параметра $a$ , при которых система

{ x2+y2 = 4 a(x4 +1)= y+ 2− |x|

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Если существует решение системы (пара чисел) при $x= x 0$ , то существует и решение, в котором $x= −x 0$ . Нечётное количество решений может быть только в случае, когда есть решение с $x= 0$ :

{ a2= y+2 =⇒ a= 0 или a= 4 y =4

Пусть $a= 4$ . Тогда $4(x4+ 1)+ |x|= y+ 2$ , при этом из второго уравнения $y ≤2 =⇒ y+ 2≤ 4$ , однако $x4+ 1≥ 1$ и $4(x4+1)+ |x|≥ 4$ . Равенство же достигается только на паре $(0,2)$ , которая и будет единственным решением.

Теперь $a =0$ . Рассмотрим $y = 0$ . Тогда система примет вид

{ |x|= 2 x2 =4

И подходит $x= ±2$ , то есть в данном случае решений больше одного.

Ответ:

$4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#40728

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ (5− 2√6)x +(5+ 2√6 )x− 5a= y− |y|− 8, x2− (a− 4)y = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что $(5− 2√6)(5+ 2√6)= 1$ , поэтому если $(x, y)$ решение, то $(−x, y)$ тоже решение. Единственность решения может быть только в случае $x= 0$ .

{ 2− 5a =y − |y|− 8, (a − 4)y = 0

Значит, либо $y = 0$ и $2− 5a= −8$ , то есть $a= 2$ , либо $a= 4$ и $y− |y|+10= 0$ и $y = −5$ .

Если $a= 4$ , то $x= 0$ и у первого уравнения один корень, так как если $y ≥0$ , то $− 18= −8$ ?!, а если $y <0$ , то $− 18 =2y− 8$ и $y =− 5$ . Значит, в этом случае ровно один корень.

Если $a= 2$ , то либо $x= 0$ и $y = 0$ , либо $x > 0$ и $y <0$ , так как $x2 +2y = 0$ . Значит,

√ -x √ -x (5− 2 6) +(5+ 2 6) =2y+ 2

Заметим, что правая часть меньше $2$ , а правая хотя бы $2$ , так как $a+ 1≥ 2 a$ . Значит, при $a= 2$ тоже один корень.

Ответ:

${2;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#83246

Найдите все значения параметра $a ∈(0;π)$ , при каждом из которых система

(| 2 2 2 |{x + y − 4(x+ y)sin a+8 sin a= 2sina− 1 ||(x + y= 2sina+ 4sin2a y x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что если в каждом уравнении поменять местами $x$ и $y$ , то уравнения останутся прежними. Следовательно, система симметрична относительно перемены местами $x$ и $y$ . Значит, если у системы есть решение $(x0;y0)$ , то у нее есть и решение $(y0;x0)$ . Пара, не дающая новую пару решений, имеет вид $(x;x)$ , то есть имеет равные координаты $x$ и $y$ . Следовательно, если среди решений системы есть решение вида $(x;x)$ , то решений будет нечетно, если же такой пары нет — решений будет четно.

Значит, нам нужно, чтобы такая пара была решением системы.

1.

Определим, при каких $sina =b∈ (0;1]$ (так как $a∈ (0;π)$ по условию) система имеет решение вида $(x;x)$ :

(| 2 2 ( ||{ 2x − 8bx+ 8b =2b− 1 { x= 1 || 2= 2b+4b2 ⇔ ( b= 1 |( b∈ (0;1] 2

Это решение $(1;1)$ , имеющееся у системы при $b= 1 2$ .

2.

Определим, имеет ли система еще решения при $b= 12$ . Причем заметим, что если мы определим хотя бы одно решение, отличное от $(1;1)$ , то найденное значение $b$ нам не подойдет. Если же мы докажем, что других решений нет, то $b = 12$ нам подойдет.

система при $b= 1 2$ имеет вид

( |{ x2+ y2 − 2(x+y)+ 2= 0 |( x + y = 2 y x

Второе равенство представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел. Так как такая сумма по модулю не меньше $2$ и равна $2$ , если оба числа равны $1$ , то из второго уравнения следует, что $xy = 1$ , откуда $x = y$ . Следовательно, других решений быть не может и $b= 12$ нам подходит.

Если $b= 1 2$ , то $sina = 1 2$ , откуда на промежутке $(0;π)$ получаем углы $a = π ;5π. 6 6$

Ответ:

$a ∈{π;5π} 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90136

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 4∘ --2 a2 x + (1− a+ |x|) = 4

имеет ровно три решения.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проверим, что будет, если подставить в уравнение -х на место х?

Подсказка 2

Уравнение получилось таким же! Значит, если х₀ является решением уравнения, то и -х₀ будет также решением. Тогда нечётное число решений может быть только в том случае, если -х₀ = х₀.

Подсказка 3

Подстановкой получите значения а, при которых решений может быть нечётное число, но как проверить, будет ли их именно 3, а не 1/5/7 и т.д.?

Подсказка 4

Один из случаев (с дробным значением а) удобно проверить оценкой, какие значения принимает каждое из слагаемых?

Подсказка 5

Во втором случае удобно решать графически: пусть y = (1 - a + ⁴√|x|), постройте график и определите количество решений!

Показать ответ и решение

Решений нечётное количество, в силу симметрии $x ↔ −x.$ Тогда единственным решений должен быть $x =0 :$

2 2 1− 2a +a = a ∕4

2 a= 2 или a= 3

Если $a= 2$ , то $2 ∘4-- 2 x +( |x|− 1) = 1$ , это легко решить графически:

$PIC$

То есть $a= 2$ подойдёт, при $a= 23$ получим $-- 19 = x2+(13 +∘4|x|)2$ , где вторая скобка не меньше $(13)2$ , то есть решение только одно — $x =0$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32702

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение – тут сумма двух очень похожих друг на друга логарифмов, при этом требуется ровно одно решение – это может навести на мысль использовать соображения симметрии

Подсказка 2

Выражение симметрично относительно замены х на -х! Значит, нечетное число корней (в частности, один корень) может быть только в том случае, когда х = 0 – решение, таким образом Вы можете найти те значениях а, при которых это условие выполняется, остается только проверить: правда ли при конкретной ашке корень будет только один

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 log2(a + 2a− 1)+ log2(a +2a− 1)=2

2 a + 2a − 1= 2

a= 1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log2−x(2+ x)$ мы получаем уравнение $t+ 1t = 2$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0$ .

Ответ:

$1$

Предыдущий раздел

Следующий раздел