Тема . Задачи с параметром

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82296

Найти все k,  такие что неравенство

3   3  3
a +b + c +6≥ k(a+b+ c)

справедливо при всех a,b,c≥− 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что если попробовать «загнать» в рамки k? Давайте найдем такие a, b, c, чтобы k был в очень маленьком диапазоне (или даже единственным).

Подсказка 2

Рассмотрите граничный случай: a=b=c=-2. А теперь возьмём ещё удобные значения: a=b=c=1. Каким тогда может быть k?

Подсказка 3

k = 3. Как тогда красиво можно сгруппировать слагаемые, чтобы доказать, что оно верно при таком k?

Подсказка 4

Попробуйте сгруппировать слагаемые так, чтобы в одной скобке были слагаемые с одной и той же буквой.

Показать ответ и решение

При a= b= c= −2  неравенство выполнено, если

− 8− 8 − 8+ 6≥ −6k ⇐⇒  k≥ 3

При a= b= c= 1  неравенство выполнено, если

1+1 +1+ 6≥ 3k  ⇐⇒   k≤ 3

Поэтому никакие значения, кроме k= 3  , подойти не могут. Проверим, верно ли неравенство при k = 3:

a3+ b3+c3+ 6≥ 3(a+ b+ c)?

(a3 − 3a+ 2)+(b3− 3b+ 2)+(c3− 3c+ 2)≥0?

Это неравенство верно, поскольку каждое из трёх слагаемых неотрицательно: x3− 3x +2 =(x− 1)2(x+ 2)≥ 0  при x ≥− 2.

Ответ: 3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!