Тема . Задачи с параметром

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78979

Числа x ≤0,y > 0  — решения системы уравнений

({   2        2  10p−-p2
  3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ;
( x  − 5xy+ 6y = 4p2+9,

p  — параметр. При каких p  выражение  2   2
x + y  принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать систему. Что есть схожего у уравнений? Как можно преобразовать левую часть каждого?

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

pict

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. x≤ 0,y > 0,  следовательно x− 2y < 0  и x− 3y <0  ), получим 3x+y
x−2y =p.  Отсюда

x   2p+1
y = p−-3 ,
(2)

где − 12 ≤ p< 3,  т.к. xy ≤ 0.  Подставив соотношение (2)  в уравнение (1)  получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2,
    7(4p2+ 9)     7(4p2+ 9)

откуда

 2   2       5p2− 2p+-10
x + y = f(p)=  7(4p2+ 9)

Исследовав функцию f(p)  на максимум и минимум при    [   )
p∈ − 12,3 получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1)
      40      2       7
Ответ:

(a)   1
− 2

(b) 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!