Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Тема Задачи с параметром

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41244

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 1 2 2x + 2x − x − a − 1= 0

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

а входит только в первой степени, поэтому удобно будет перенести а направо и нарисовать получившееся уравнение в плоскости хОа!

Подсказка 2

Изобразим график функции а(x) = 2x³ + x²/2 - x - 1. Как можно изобразить график кубической функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Определим промежутки возрастания и убывания функции, посчитаем значение функции в точках перегиба. Осталось лишь "двигать" горизонтальную прямую, соответствующую разным значениям а, и искать ровно одно пересечение!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=2x3+ x2− x− 1 2$ и построим её эскиз. Для этого возьмём производную: $f′(x)=6x2+ x− 1= 0 ⇐⇒ (3x− 1)(2x+ 1)=0.$ По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции:

$PIC$

Найдём $a∗ = f(13)= 227 + 118 − 43 = − 6554$ и $a∗ = f(− 12)= − 14 + 18 + 12 − 1=− 58.$ При $a< a∗$ и $a >a∗$ прямая $y = a$ пересекает график $y =f(x)$ ровно в одной точке, при других значениях параметра $a$ точек пересечения больше одной.

Ответ:

$(−∞;− 65)∪(− 5;+∞ ) 54 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41245

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx +2 cos 3 +3cos3 =a

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас непрерывная функция, справа a. Чтобы существовало решение, нам нужно, чтобы a принадлежало множеству значений функции слева. Как это удобно учесть?

Подсказка 2

Чтобы a принадлежало множеству значений непрерывной функции, достаточно принадлежности a отрезку между максимумом и минимумом функции! По формуле тройного угла можно связать cos(x) и cos(x/3), а вместе с ними и cos(2x/3). Так как же найти максимум и минимум функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Заменим cos(x/3) на t, осталось лишь найти точки экстремума f(t) = 4t³-3t +3/2 (2t²-1) + 3t

Показать ответ и решение

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения. Но отметим, что это непрерывная функция, поэтому принимает все значения между своими максимумом и минимумом. Остаётся найти их.

После замены $x cos3 = t∈[−1,1]$ получаем задачу исследования

3 3 2 3 2 3 f(t)= 4t− 3t+ 2(2t − 1)+ 3t=4t + 3t − 2

на отрезке $[− 1;1]$ .

Возьмём производную по $t$ :

f′(t)= 12t2+ 6t=0 ⇐ ⇒ t∈ {0;− 12}

Остаётся подставить $t=− 1,t= − 12,t= 0,t= 1$ (максимум и минимум могут достигаться только в этих точках) и получить

fmin = f(− 1)=− 5,fmax =f(1)= 11 2 2

Ответ:

$[− 5;11] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46606

Найти все значения $b$ , при которых уравнение $sinx= 9(2b− 1)2$ имеет корни, а числа $1−-4b 27b4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 1 1 2 9(2b− 1) ≤ 1 ⇐ ⇒ |2b− 1|≤ 3 ⇐⇒ 3 ≤ b≤ 3

Далее исследуем функцию $1−4b f(b)= 27b4-$ на отрезке $1 2 [3,3]$

4 3b− 1 f′(b)= 27 ⋅-b5--≥ 0

Получается, что функция возрастает на данном отрезке, её минимальное значение равно $f(13)= −1$ , а максимальное $f(23)< 0.$ Единственное целое значение равно $− 1$ и достигается при $b= 13.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#100192

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Показать ответ и решение

Так как знаменатель функции

-----------1---------- f(x)= √x2-+2x+-5+ √x2+-6x+18-

равен

∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x +1)2+22+ (x +3)2+32

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию $∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x+ 1)2+ 22+ (x+3)2+ 32$ можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки $(x;0)$ до точки $A(−1;2)$ и от точки $(x;0)$ до точки $B(−3;− 3)$ . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой $AB$ и оси абсцисс. Это будет точка $x= − 95$ , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

∘-------------- AB = (3− 1)2+ (3 +2)2 = √29.

Поэтому наибольшим значением функции $f(x)= g1(x)$ является $√129$ . Значит,

√a≥ √1- 29

a≥ -1 29

Ответ:

$( 1-;+∞) 29$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47236

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уж слишком ужасно выглядит наше уравнение. Если оно не раскладывается на скобки, то вообще не понятно как его решать. Давайте поверим в то, что оно раскладывается на два множителя. Т.к. у нас есть произведения x*lgx и x*a, но при этом нету x², скорее всего в одной скобке должны быть слагаемые lgx и a, а в другой lgx, a и x...

Подсказка 2

Действительно, наше выражение раскладывается в (3*lgx-a)(x+lgx-4a)=0. Тогда решения нашего уравнения получаются из решений двух уравнений 3*lgx=a и x+lgx=4a. Что особенного можно сказать про функции f(x)=3*lgx и g(x)=x+lgx?

Подсказка 3

Верно, они обе строго возрастают и пробегают все действительные значения при x>0. Это значит, что существуют единственные c и d такие, что f(c)=a и g(d)=4a. Значит, решения нашего уравнения- это в точности точки c и d, а мы хотим, чтобы решение было единственным. Когда такое может случится?

Подсказка 4

Нам нужно, чтобы c=d ⇒ 3*lgc=a и с+lgc=4a ⇒ 10^(a/3)+a/3=4a. Осталось лишь найти количество корней уравнения h(a)=10^(a/3)-11/3a=0. Как будем это делать?

Подсказка 5

Нетрудно видеть, что производная функции h(a) один раз обращается в нуль, который является точкой минимума. Значит, в силу непрерывности и неограниченности на бесконечностях нашей функции, она два раза пересечет прямую y=0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45585

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 ln(x+ a)− 4(x+ a)+ a= 0

имеет единственный корень?

Источники: ОММО-2015, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что искать тут как-то решения сразу или выражать х или а, у нас не получится. У нас есть и логарифм, и квадрат. Но сразу видим у них общие части. Что тогда с ними нужно сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить х+а новой переменной, например, t. Теперь мы можем выразить а через t. Хорошо бы было построить график этого уравнения в плоскости tOa, но у нас там логарифм+ квадрат... Но в 10-11 классе это же не проблема? Особенно, если вы смотрели вебинары и помните, что там делали!

Подсказка 3

Да, давайте просто проанализируем нашу функцию относительно t. Попробуйте найти минимум функции и подумать, какие а вам не подойдут сразу, другие же отсечь, исходя из уловия задачи.

Показать ответ и решение

После замены $t= x+ a$ получаем уравнение $a= 4t2 − lnt.$ Исследуем множество значений $f(t)= 4t2− ln t$ . Возьмём производную

′ 1 8t2− 1 f(t)= 8t− t =--t--

На области определения $t> 0$ получаем $′ f(t)<0$ при $1 t< √8$ , $′ 1 f (√8-)=0$ , $′ f (t)> 0$ при $1 t> √8.$ Тогда функция имеет единственный минимум в точке $1 t∗ = 2√2,$ а при $t→ 0$ и $t→ +∞$ она стремится к $+∞$ . Тогда ясно, что при $a< f(t∗)$ решений нет. В случае же $a >f(t∗)$ за счёт выбора $x =t− a$ можно подобрать соответствующие для $t$ два решения, при $a =f(t∗)$ ровно одно.

В итоге подходит только $a= f(t∗)= 1+3l2n2$ .

Ответ:

$1+3ln2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90805

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

( a) sin x+ x = x+ 1

имеет бесконечно много решений.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 4, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас стоит синус, какие тогда ограничения можно сразу наложить на правую часть и x?

Подсказка 2

x лежит на [-2;0)! Теперь подумаем, а как бы мы решали уравнение sin(f(x)) = g(x)? Быть может, сначала решим его относительно a, а потом уже найдем количество корней на промежутке?

Подсказка 3

x — корень уравнения, если x + a/x - arcsin(x+1) = 2*pi*k, k — целое. То есть перед нами комбинация трёх функций (одна из них меняется в зависимости от a), которую мы исследуем на [2;0).

Подсказка 4

Исследуйте F(x) = x + a/x - arcsin(x+1) на непрерывность и неограниченность на нужном промежутке!

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что уравнение может иметь решения только при $x ∈[−2;0).$

При $a= 0$ уравнение имеет вид:

sinx =x +1

Последнее уравнение на промежутке $[−2;0)$ не имеет бесконечного количества решений, поскольку графики функций $f(x)=sinx$ и $g(x)=x +1$ пересекаются на этом промежутке в одной точке.

Рассмотрим теперь случай, когда $a⁄= 0.$ Пусть $t= arcsin(x+1).$ Тогда $x$ — корень уравнения, если

a x+ x = t+ 2πk, k∈ℤ

a x + x − arcsin(x +1)= 2πk

Поскольку функции $f(x)=x, g(x)= arcsin(x+1)$ непрерывны и ограничены при $x∈ [− 2;0),$ а функция $a q(x)= x$ непрерывна и неограничена при $x∈ [− 2;0),$ то функция $F(x)=x + ax − arcsin(x +1)$ также непрерывна и неограничена при $x∈ [−2;0).$ Следовательно, при $a ⁄=0$ функция $F(x)$ принимает значения, кратные $2π,$ бесконечное число раз, и исходное уравнение имеет в этом случае бесконечно много решений.

Ответ:

$(−∞;0)∪ (0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#73117

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при которых среди чисел последовательности

2 ----10---- xn = −n + 10n+22+ |5n− 31|+ a, n= 1,2,...

есть ровно два максимальных элемента.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд сложно сказать что-то определённое, но нас интересуют максимумы. Если разбить формулу на 2 части: с параметром и без, то у нас получатся парабола и обратная функция. Что можно сказать про их максимумы по отдельности?

Подсказка 2

Оказывается, вершина параболы в n=5, а модуль в функции от параметра принимает минимальное значение в n=31/5 (число тем больше, чем меньше знаменатель). Точки максимума близки друг к другу, что это даёт?

Подсказка 3

Значит, максимум всей функции лежит где-то на отрезке между 5 и 31/5. (Поскольку за пределами этого отрезка обе функции имеют одинаковую монотонность). При этом значение при n=5 больше, чем при n=7. Если у последовательности 2 точки максимума, то это обязательно n=5 и n=6. Осталось только приравнять их между собой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $f(x)= −x2+ 10x+ 22$ и $g(x)= --10---. |5x−31|+a$ Функция $f$ возрастает на промежутке $(− ∞;5)$ и убывает на промежутке $(5;+∞ ),$ а фунция $g$ при всех значениях параметра $a$ возрастает на промежутке $31 (−∞; 5 )$ и убывает на промежутке $31 (5 ;+ ∞)$ (при этом $31 31 f( 5 + x)= f( 5 − x)$ ).

Следовательно, максимальными членами последовательности могут быть $10- x5 = 3+ 6+a$ и $10- x6 = 2+ 1+a.$ Так как последовательность имеет два максимальных члена, получаем равенство $-10- -10- 2 3+ 6+a = 2+ 1+a ⇒ a + 7a− 44 =0 ⇒ a= −11$ или $a =4.$

Ответ:

$a =4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76151

Найти все значения $a$ , при которых уравнение $sinx= (4a− 2)2$ имеет корни, а числа $1−-4a- 27a4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 || 1|| 1 1 3 (4a− 2) ≤1 ⇐⇒ ||a− 2||≤ 4 ⇐⇒ 4 ≤ a≤ 4

Далее исследуем функцию $f(a) = 1−274aa4$ на отрезке $[14,34]$

f′(a)= -4 ⋅ 3a-−5 1-=0 ⇐ ⇒ a = 1 27 a 3

Где $a= 13$ является точкой минимума. Отсюда $f$ может принимать только значения между $f(13)= −1$ и $max{f(14),f(34)}= 0$ . При этом значения эти достигаются только в точках $13$ и $14$ и нигде более функция целые значения принимать не может.