Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Тема Задачи с параметром

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104697

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2x x x 4 +5 ⋅4 =a ⋅4 + 6

имеет хотя бы один корень на отрезке $[1;1] 2$ .

Источники: ОММО - 2025, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оперировать степенными функциями не очень удобно. Подумайте, можно ли что-то с ними сделать, чтобы сделать исходное выражение более приятным на вид? Как при этом изменится отрезок, на котором нам необходимо, чтобы был хотя бы один корень?

Подсказка 2

Да, замена действительно бы не помешала. Подумайте, может получится вывести какую-то зависимость между параметром и некой функцией от нашей замены?

Подсказка 3

С помощью зависимости можно было бы удостовериться, соответсвует ли каждому значению функции на нашем отрезке какое-то значение параметра. Попробуйте припомнить какой-нибудь метод, который позволит нам проанализировать, как себя ведет функция на заданном отрезке.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4x$ и будем искать решения при $2≤ t≤4.$ Тогда уравнение принимает следующий вид:

2 t + (5− a)t− 6= 0

2 at= t+ 5t− 6

Так как $t⁄= 0,$ то

a= t+ 5− 6= f(t) t

Возьмем производную $f(t)$ и покажем, что функция возрастает

′ -6 f(t)=1 +t2 > 0

Так как $f(t)$ непрерывна и монотонно возрастает при $t∈ [2;4],$ то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения от $f(2)$ до $f(4).$

f(2)= 2+ 5− 6= 4 2

f(4)= 4+5− 6 = 7,5 4

Следовательно, нам подходят $a ∈[4;7,5].$

Ответ:

$[4;7,5]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125114

Укажите наименьшее положительное значение $a,$ при котором неравенство

5− 1 x 2 x ≥ a+ sin2

не имеет ни одного решения $x >0.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставим только a в правой части и исследуем функцию в левой. Сначала рассмотрим каждое из слагаемых.

Подсказка 2

Нетрудно заметить, что первое слагаемое монотонно возрастает к 2^(5-(+0)), а sin(2^x) принимает любые значения из области значений и существует сколь угодно большой x, при котором -sin(2^x) = 1. Какой вывод можно сделать о максимальном значении функции?

Подсказка 3

Когда определили максимальное значение, легко найти минимальное а, которое больше этого значения и, соответственно, минимальное а, при котором неравенство не выполняется (обратим внимание на то, что слева максимальное значение первого слагаемого 2^(5-(+0)), а не 2⁵).

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

5− 1 x f(x)= 2 x − sin2

Исследуем данную функцию. Имеем:

1.: $25− 1x$ — строго возрастающая к $25−0$ функция;
2.: $2x$ — неограниченно возрастающая функция, а, значит, найдутся сколько угодно большие $x,$ для которых выполняется равенство $sin 2x = −1.$

Тогда:

f(x)< 25+1 =33.

Значит, при $x> 0$ функция не принимает значений $a ≥33,$ а для любого $a< 33$ при некоторых достаточно больших $x> 0$ принимает значение, не меньшее $a.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41244

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 1 2 2x + 2x − x − a − 1= 0

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

а входит только в первой степени, поэтому удобно будет перенести а направо и нарисовать получившееся уравнение в плоскости хОа!

Подсказка 2

Изобразим график функции а(x) = 2x³ + x²/2 - x - 1. Как можно изобразить график кубической функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Определим промежутки возрастания и убывания функции, посчитаем значение функции в точках перегиба. Осталось лишь "двигать" горизонтальную прямую, соответствующую разным значениям а, и искать ровно одно пересечение!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=2x3+ x2− x− 1 2$ и построим её эскиз. Для этого возьмём производную: $f′(x)=6x2+ x− 1= 0 ⇐⇒ (3x− 1)(2x+ 1)=0.$ По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции:

$PIC$

Найдём $a∗ = f(13)= 227 + 118 − 43 = − 6554$ и $a∗ = f(− 12)= − 14 + 18 + 12 − 1=− 58.$ При $a< a∗$ и $a >a∗$ прямая $y = a$ пересекает график $y =f(x)$ ровно в одной точке, при других значениях параметра $a$ точек пересечения больше одной.

Ответ:

$(−∞;− 65)∪(− 5;+∞ ) 54 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41245

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx +2 cos 3 +3cos3 =a

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас непрерывная функция, справа a. Чтобы существовало решение, нам нужно, чтобы a принадлежало множеству значений функции слева. Как это удобно учесть?

Подсказка 2

Чтобы a принадлежало множеству значений непрерывной функции, достаточно принадлежности a отрезку между максимумом и минимумом функции! По формуле тройного угла можно связать cos(x) и cos(x/3), а вместе с ними и cos(2x/3). Так как же найти максимум и минимум функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Заменим cos(x/3) на t, осталось лишь найти точки экстремума f(t) = 4t³-3t +3/2 (2t²-1) + 3t

Показать ответ и решение

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения. Но отметим, что это непрерывная функция, поэтому принимает все значения между своими максимумом и минимумом. Остаётся найти их.

После замены $x cos3 = t∈[−1,1]$ получаем задачу исследования

3 3 2 3 2 3 f(t)= 4t− 3t+ 2(2t − 1)+ 3t=4t + 3t − 2

на отрезке $[− 1;1]$ .

Возьмём производную по $t$ :

f′(t)= 12t2+ 6t=0 ⇐ ⇒ t∈ {0;− 12}

Остаётся подставить $t=− 1,t= − 12,t= 0,t= 1$ (максимум и минимум могут достигаться только в этих точках) и получить

fmin = f(− 1)=− 5,fmax =f(1)= 11 2 2

Ответ:

$[− 5;11] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#46606

Найти все значения $b$ , при которых уравнение $sinx= 9(2b− 1)2$ имеет корни, а числа $1−-4b 27b4$ являются целыми.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 1 1 2 9(2b− 1) ≤ 1 ⇐ ⇒ |2b− 1|≤ 3 ⇐⇒ 3 ≤ b≤ 3

Далее исследуем функцию $1−4b f(b)= 27b4-$ на отрезке $1 2 [3,3]$

4 3b− 1 f′(b)= 27 ⋅-b5--≥ 0

Получается, что функция возрастает на данном отрезке, её минимальное значение равно $f(13)= −1$ , а максимальное $f(23)< 0.$ Единственное целое значение равно $− 1$ и достигается при $b= 13.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92009

Найти все значения $c$ , при которых уравнение $4sinx+ 9cosx= c$ имеет решение.

Показать ответ и решение

Обозначим за $x= tanx 2$ . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

--8x-- 9−-9x2 9+-8x− 9x2 x2+ 1 + x2 +1 = x2+ 1 =c

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно $x$ .

(9+ c)x2− 8x+ (c− 9)= 0

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, $2 64− 4c +4⋅81≥ 0$ . Откуда $2 c ≤97$ . Поскольку уравнение $x tan 2 = d$ имеет решение при любом вещественном $d$ , все $c$ , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также несложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что $x cos2 = 0$ . Но тогда $cosx= −1,sinx= 0$ . То есть в этом случае $c=− 9$ , такое число уже входит в полученный отрезок.

Ответ:

$[−√97;√97]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100192

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Источники: ПВГ - 2020, 11.5 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как нам нужно, чтобы неравенство выполнялось при всех x, то какое крайнее значение левой части стоит рассмотреть? При каком знаменателе оно достигается?

Подсказка 2

Рассмотрите наибольшее значение левой части. Для этого нужно минимизировать знаменатель;) Можно пробовать его преобразовать так, чтобы найти геометрическую интерпретацию знаменателю.

Подсказка 3

Представьте подкоренные выражения в виде суммы квадратов. Каков геометрический смысл суммы корней?

Подсказка 4

Это сумма расстояний от двух точек до некоторой одной! А когда она достигает наименьшего значения?

Подсказка 5

Когда точки лежат на одной прямой ;)

Показать ответ и решение

Так как знаменатель функции

-----------1---------- f(x)= √x2-+2x+-5+ √x2+-6x+18-

равен

∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x +1)2+22+ (x +3)2+32

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию $∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x+ 1)2+ 22+ (x+3)2+ 32$ можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки $(x;0)$ до точки $A(−1;2)$ и от точки $(x;0)$ до точки $B(−3;− 3)$ . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой $AB$ и оси абсцисс. Это будет точка $x= − 95$ , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

∘-------------- AB = (3− 1)2+ (3 +2)2 = √29.

Поэтому наибольшим значением функции $f(x)= g1(x)$ является $√129$ . Значит,

√a≥ √1- 29

a≥ -1 29

Ответ:

$( 1-;+∞) 29$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47236

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уж слишком ужасно выглядит наше уравнение. Если оно не раскладывается на скобки, то вообще не понятно как его решать. Давайте поверим в то, что оно раскладывается на два множителя. Т.к. у нас есть произведения x*lgx и x*a, но при этом нету x², скорее всего в одной скобке должны быть слагаемые lgx и a, а в другой lgx, a и x...

Подсказка 2

Действительно, наше выражение раскладывается в (3*lgx-a)(x+lgx-4a)=0. Тогда решения нашего уравнения получаются из решений двух уравнений 3*lgx=a и x+lgx=4a. Что особенного можно сказать про функции f(x)=3*lgx и g(x)=x+lgx?

Подсказка 3

Верно, они обе строго возрастают и пробегают все действительные значения при x>0. Это значит, что существуют единственные c и d такие, что f(c)=a и g(d)=4a. Значит, решения нашего уравнения- это в точности точки c и d, а мы хотим, чтобы решение было единственным. Когда такое может случится?

Подсказка 4

Нам нужно, чтобы c=d ⇒ 3*lgc=a и с+lgc=4a ⇒ 10^(a/3)+a/3=4a. Осталось лишь найти количество корней уравнения h(a)=10^(a/3)-11/3a=0. Как будем это делать?

Подсказка 5

Нетрудно видеть, что производная функции h(a) один раз обращается в нуль, который является точкой минимума. Значит, в силу непрерывности и неограниченности на бесконечностях нашей функции, она два раза пересечет прямую y=0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#113664

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать выражение в левой части?

Подсказка 2

Примените метод вспомогательного аргумента, введя f(b) = √(sin⁴b + cos⁴b).

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что косинус по модулю не превосходит единицу.

Показать ответ и решение

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

a= f(b)cos(x− f(b)),

где

∘ --4-----4- f(b)= sin b+ cos b

Если $| a-|≤ 1 f(b)$ при любых $b,$ то найдётся, например, решение $x= f(b)+ arccos-a. f(b)$ А если же при каком-то $b$ выполнено $| a-|> 1, f(b)$ то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.

Неравенство $|a|>|f(b)|=f(b)$ выполнено хотя бы при каком-то $b,$ если $|a|>minf(b).$

∘ ---1--2-- -1- |a|> min 1− 2sin 2b= √2.

В итоге получаем, что $( 1) ( 1 ) a∈ −∞;− √2- ∪ √2;+∞ .$

Ответ:

$(−∞;− 1√-) ∪( 1√-;+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#114019

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x?$

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся с дробью в степени и попробуем оценить её значение. Как связаны числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2x - 1 и исследуйте дробь!

Подсказка 3

Оцените t² + 4 по неравенству о средних. В каком отрезке тогда лежит значение всей дроби?

Подсказка 4

Значение дроби по модулю не превышает 1/4! Тогда можно оценить и число, лежащее между a и b ;)

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

--t-- f(t)= t2 +4

По неравенству о средних

√--- t2+4 ≥2 4t2 = 4|t|

Тогда

1 t 1 − 4 ≤ t2+4-≤ 4

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функции

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть полуинтервал $[ ] 12;2.$

Ответ:

$a ≥2, b< 1 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45585

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 ln(x+ a)− 4(x+ a)+ a= 0

имеет единственный корень?

Источники: ОММО-2015, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что искать тут как-то решения сразу или выражать х или а, у нас не получится. У нас есть и логарифм, и квадрат. Но сразу видим у них общие части. Что тогда с ними нужно сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить х+а новой переменной, например, t. Теперь мы можем выразить а через t. Хорошо бы было построить график этого уравнения в плоскости tOa, но у нас там логарифм+ квадрат... Но в 10-11 классе это же не проблема? Особенно, если вы смотрели вебинары и помните, что там делали!

Подсказка 3

Да, давайте просто проанализируем нашу функцию относительно t. Попробуйте найти минимум функции и подумать, какие а вам не подойдут сразу, другие же отсечь, исходя из уловия задачи.

Показать ответ и решение

После замены $t= x+ a$ получаем уравнение $a= 4t2 − lnt.$ Исследуем множество значений $f(t)= 4t2− ln t$ . Возьмём производную

′ 1 8t2− 1 f(t)= 8t− t =--t--

На области определения $t> 0$ получаем $′ f(t)<0$ при $1 t< √8$ , $′ 1 f (√8-)=0$ , $′ f (t)> 0$ при $1 t> √8.$ Тогда функция имеет единственный минимум в точке $1 t∗ = 2√2,$ а при $t→ 0$ и $t→ +∞$ она стремится к $+∞$ . Тогда ясно, что при $a< f(t∗)$ решений нет. В случае же $a >f(t∗)$ за счёт выбора $x =t− a$ можно подобрать соответствующие для $t$ два решения, при $a =f(t∗)$ ровно одно.

В итоге подходит только $a= f(t∗)= 1+3l2n2$ .

Ответ:

$1+3ln2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90805

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

( a) sin x+ x = x+ 1

имеет бесконечно много решений.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 4, задача 8 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас стоит синус, какие тогда ограничения можно сразу наложить на правую часть и x?

Подсказка 2

x лежит на [-2;0)! Теперь подумаем, а как бы мы решали уравнение sin(f(x)) = g(x)? Быть может, сначала решим его относительно a, а потом уже найдем количество корней на промежутке?

Подсказка 3

x — корень уравнения, если x + a/x - arcsin(x+1) = 2*pi*k, k — целое. То есть перед нами комбинация трёх функций (одна из них меняется в зависимости от a), которую мы исследуем на [2;0).

Подсказка 4

Исследуйте F(x) = x + a/x - arcsin(x+1) на непрерывность и неограниченность на нужном промежутке!

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что уравнение может иметь решения только при $x ∈[−2;0).$

При $a= 0$ уравнение имеет вид:

sinx =x +1

Последнее уравнение на промежутке $[−2;0)$ не имеет бесконечного количества решений, поскольку графики функций $f(x)=sinx$ и $g(x)=x +1$ пересекаются на этом промежутке в одной точке.

Рассмотрим теперь случай, когда $a⁄= 0.$ Пусть $t= arcsin(x+1).$ Тогда $x$ — корень уравнения, если

a x+ x = t+ 2πk, k∈ℤ

a x + x − arcsin(x +1)= 2πk

Поскольку функции $f(x)=x, g(x)= arcsin(x+1)$ непрерывны и ограничены при $x∈ [− 2;0),$ а функция $a q(x)= x$ непрерывна и неограничена при $x∈ [− 2;0),$ то функция $F(x)=x + ax − arcsin(x +1)$ также непрерывна и неограничена при $x∈ [−2;0).$ Следовательно, при $a ⁄=0$ функция $F(x)$ принимает значения, кратные $2π,$ бесконечное число раз, и исходное уравнение имеет в этом случае бесконечно много решений.

Ответ:

$(−∞;0)∪ (0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#73117

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при которых среди чисел последовательности

2 ----10---- xn = −n + 10n+22+ |5n− 31|+ a, n= 1,2,...

есть ровно два максимальных элемента.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд сложно сказать что-то определённое, но нас интересуют максимумы. Если разбить формулу на 2 части: с параметром и без, то у нас получатся парабола и обратная функция. Что можно сказать про их максимумы по отдельности?

Подсказка 2

Оказывается, вершина параболы в n=5, а модуль в функции от параметра принимает минимальное значение в n=31/5 (число тем больше, чем меньше знаменатель). Точки максимума близки друг к другу, что это даёт?

Подсказка 3

Значит, максимум всей функции лежит где-то на отрезке между 5 и 31/5. (Поскольку за пределами этого отрезка обе функции имеют одинаковую монотонность). При этом значение при n=5 больше, чем при n=7. Если у последовательности 2 точки максимума, то это обязательно n=5 и n=6. Осталось только приравнять их между собой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $f(x)= −x2+ 10x+ 22$ и $g(x)= --10---. |5x−31|+a$ Функция $f$ возрастает на промежутке $(− ∞;5)$ и убывает на промежутке $(5;+∞ ),$ а фунция $g$ при всех значениях параметра $a$ возрастает на промежутке $31 (−∞; 5 )$ и убывает на промежутке $31 (5 ;+ ∞)$ (при этом $31 31 f( 5 + x)= f( 5 − x)$ ).

Следовательно, максимальными членами последовательности могут быть $10- x5 = 3+ 6+a$ и $10- x6 = 2+ 1+a.$ Так как последовательность имеет два максимальных члена, получаем равенство $-10- -10- 2 3+ 6+a = 2+ 1+a ⇒ a + 7a− 44 =0 ⇒ a= −11$ или $a =4.$

Ответ:

$a =4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76151

Найти все значения $a$ , при которых уравнение $sinx= (4a− 2)2$ имеет корни, а числа $1−-4a- 27a4$ являются целыми.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Хм-м, когда данное уравнение будет иметь корни? Да, действительно, ведь мы знаем ограничение на левую часть равенства. Действительно, -1 ≤ sin(x) ≤ 1. Получается мы можем выделить отрезок, на котором будем рассматривать значения a, а про остальные значения параметра забыть.

Подсказка 2.

Что же делать теперь? Анализировать функцию с параметром! Давайте проанализируем функцию f(a) = (1 - 4*a) / (27*a⁴). Для того, чтобы определить какие значения она принимает, возьмём её производную, найдём минимум и максимум и поймём, что проверить надо всего несколько значений a.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 || 1|| 1 1 3 (4a− 2) ≤1 ⇐⇒ ||a− 2||≤ 4 ⇐⇒ 4 ≤ a≤ 4

Далее исследуем функцию $f(a) = 1−274aa4$ на отрезке $[14,34]$

f′(a)= -4 ⋅ 3a-−5 1-=0 ⇐ ⇒ a = 1 27 a 3

Где $a= 13$ является точкой минимума. Отсюда $f$ может принимать только значения между $f(13)= −1$ и $max{f(14),f(34)}= 0$ . При этом значения эти достигаются только в точках $13$ и $14$ и нигде более функция целые значения принимать не может.

Ответ:

$1,1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#105474

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2( 2x−x2) √- (2x−x2+1) 2cos 2 = a+ 3sin 2

имеет хотя бы одно решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая часть уравнения повторяется настолько, что её хочется заменить?)

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2^(2x-x²). Как можно преобразовать квадрат косинуса?

Подсказка 3

Преобразуем квадрат косинуса по формуле понижения степени! А как мы решаем уравнения, где синус и косинус присутствуют только в первых степенях? ;)

Подсказка 4

Воспользуйтесь методом вспомогательного угла!

Подсказка 5

Получим уравнение, в одной части которого лежит sin(2t - π/6). А какие тогда есть ограничения на значения другой части? :)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=22x−x2.$ Так как $2x− x2$ — это парабола с ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, в данном случае при $x =1,$ тогда $t∈(0;2].$ Преобразуем наше уравнение:

2 √ - 2 cos t= a+ 3sin2t

√ - 1+cos2t=a + 3sin2t

1− a =√3-sin2t− cos2t

( ) 1−-a= sin 2t− π 2 6

Учитывая ограничение на $t,$ правая часть может принимать значения $( ] − 1 ;1 , 2$ тогда $a∈ [−1;2).$

Ответ:

$[−1;2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#78979

Числа $x ≤0,y > 0$ — решения системы уравнений

({ 2 2 10p−-p2 3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ; ( x − 5xy+ 6y = 4p2+9,

$p$ — параметр. При каких $p$ выражение $2 2 x + y$ принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать систему. Что есть схожего у уравнений? Как можно преобразовать левую часть каждого?

Подсказка 2

Левую часть каждого можно разложить на множители, а правые части отличаются домножением на p. Что интересного можно заметить при таком преобразовании? Что хочется с этим сделать?

Подсказка 3

Есть совпадающие скобки, поэтому попробуем поделить одно уравнение на другое. Тогда мы выразим р. А что можно сделать, чтобы благодаря первоначальной системе уравнений найти связь одной из переменных х и у с р? Пока что у нас в каждом уравнении есть все три переменные, как можно избавиться от одной из них?

Подсказка 4

Попробуем найти х/у! Тогда можно будет выразить одну переменную через другую и найти

Подсказка 5

x/y=(2p+1)/(p-3). Как можно оценить р, используя условия на х и у? Теперь, при помощи условия и найденной связи между х и у, мы можем найти квадраты!

Подсказка 6

Сумма квадратов равна (5p^2-2p+10)/(7*(4p^2+9)). Осталось лишь найти экстремумы такой функции на промежутке привычным способом)

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

$pict$

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. $x≤ 0,y > 0,$ следовательно $x− 2y < 0$ и $x− 3y <0$ ), получим $3x+y x−2y =p.$ Отсюда

x 2p+1 y = p−-3 ,

(2)

где $− 12 ≤ p< 3,$ т.к. $xy ≤ 0.$ Подставив соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$ получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2, 7(4p2+ 9) 7(4p2+ 9)

откуда

2 2 5p2− 2p+-10 x + y = f(p)= 7(4p2+ 9)

Исследовав функцию $f(p)$ на максимум и минимум при $[ ) p∈ − 12,3$ получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1) 40 2 7

Ответ:

(a) $1 − 2$

(b) $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33955

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1985 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пугающая штука… Что может нам помочь?) Симметрии на первый взгляд не видно, идея напрямую выражать корни тоже как будто бы не вдохновляет, остаётся только упрощать то что видим.

Подсказка 2

Выведите слагаемое с параметром в одну сторону, а всё остальное – в другую. Удаётся ли разложить на скобки что-то из подкоренных выражений? А может быть где-то можно вообще вынести множитель из под корня?)

Подсказка 3

Удастся ли нам оставить в левой части только параметр (может быть с каким-то числовым множителем), а всё остальные вывести вправо? Если корень-множитель не равен нулю, то смело можем на него поделить!

Подсказка 4

Попробуйте ввести замену так, чтобы перед нами в итоге осталось квадратное уравнение с параметром! После хорошего исследования замены добить задачу будет не так уж трудно!

Подсказка 5

Если замену не удаётся увидеть, то покажем вам её: t = (¹⁰√((x + 4)(x + 3))/(⁵√(x + 3))

Подсказка 6

Аккуратненько разберём, чем является наше t? Не забывайте, его знаменатель не всегда положителен, поэтому ошибкой будет сразу же сокращать кажущиеся похожими множители! А в целом исследование удобно начать с рассмотрения случаев и работы с подкоренным выражением в итоге!

Подсказка 7

Итак, у нас есть два случая. Под корнем 10-й степени в обоих этих случаях одно и то же выражение. Давайте изобразим его график и сделаем выводы: сколько значений этого выражения соответствуют каждому х? Какие они могут быть?

Подсказка 8

Распространите выводы, сделанные выше, на саму t. Теперь мы знаем, при каких значениях t существуют соответствующие значения х. Осталось понять – когда квадратное уравнение, полученное выше, имеет ровно одно решение в полученном промежутке. Это удобно сделать графическим методом, предварительно заменив всю левую часть на какую-нибудь одну букву (14а² = b)

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Заметим, что $10√(x+4)(x+3) ∘ ---- ---5√x+3---⁄= 10 xx++43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделаем замену $10√-------- t= --(x5√+x4)+(x3+3)$ , тогда $∘ x+-4- t2 = 5 x+-3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( 10∘---------- ∘ ----- ∘ ------- ||||{ --(x1+0√-4)(x+2-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= ∘(--x+-3)-- x∘-+3-- ∘-x+-3-- ||||( 10(x∘+-4)(x+-3)= − 10 x+4-= − 101 +-1-, x≤ −4 −(10− (x +3))2 x+3 x +3

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

({ 1∘0--- t= p∘(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) ( − 10p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения: