Тема Задачи с параметром

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90692

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение системы — это прямая, которая движется вверх-вниз в зависимости от параметра a. Чтобы построить график второго уравнения, можно отразить параболу y = x^2 - 2x по оси OX.

Подсказка 2

Опускаем прямую y = 4x, проверяя количество корней. В какой-то момент прямая коснётся графика, и с этого момента нужно быть внимательным, чтобы учесть все случаи и не взять лишнее в ответ.

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

( y = 4x+ a |||{ 2 x[ − 2x2≥ 0 |||( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 2x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$xyyy((((11201234==))))x−2x−2 2+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $2 y = x − 2x$ в точке с абсциссой больше 2. Тогда уравнение

x2− 2x =4x +a1 x2− 6x+ 9 =a1 +9 2 (x − 3) = a1+ 9

имеет единственное решение, если $a1+ 9 =0,$ то есть $a1 = −9.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(3;3).$

Положение (2): точка $(2;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅2 + a2 a2 = −8

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −x2+ 2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 −x + 2x= 4x+ a4 x2 +2x +1 = −a4+ 1 (x +1)2 = 1− a4

имеет единственное решение, если $1 − a4 = 0,$ то есть $a4 = 1.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−1;−3).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −9)∪ (− 8;0)∪ (1;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −9)∪ (−8;0) ∪(1;+ ∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#65621

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ 2x− 2y− 2= ||x2+ y2− 1|| y =a(x− 1)

имеет более двух решений.

Показать ответ и решение

Эту задачу неприятно решать алгебраически, поскольку у нас есть знак модуля. С другой стороны, легко понять, как построить график каждого уравнения. Тогда давайте решим эту задачу графически. Второе уравнение представляет из собок пучок прямых, проходящих через точку (1;0). А первое уравнение равносильно системе:

( [ 2 2 |{ 2x− 2y− 2= x +2y −2 1, |( 2x− 2y− 2= −x − y +1, 2x − 2y− 2≥ 0.

Теперь перепишем первые два условия в другом виде, поделим на 2 третье условие:

(| [ (x− 1)2+ (y +1)2 = 1, { (x+ 1)2+ (y − 1)2 = 5, |( x− y− 1≥ 0.

Первое условие задает окружность с центром (1; -1) и радиусом 1, второе - окружность с центром (-1; 1) и радиусом $√5-$ , а третье - область «не выше» прямой $y = x− 1.$ Тогда график первого уравнения выглядит так:
$PIC$

Тогда нам нужно найти $a$ , при которых пересечения графиков обоих графиков есть хотя бы 3.

$PIC$

Заметим, что нам подходят только $a$ , при которых прямая будет лежать «между» красной и оранжевой прямой. Красная прямая касается окружности $2 2 (x+ 1) +(y− 1)= 5$ в точке (1;0), а оранжевая прямая - прямая, которая задается уравнением $y =x − 1.$ Найдем уравнение красной прямой. Пусть $O$ - центр окружности $2 2 (x+ 1)+ (y− 1) = 5$ , $A$ - точка с координатой (1;0), $B$ - точка с координатой (-1;0). Тогда треугольник $OAB$ - прямоугольный, по теореме Пифагора $√---- AB = 5 − 1 =2$

$PIC$

Так как $OA$ перпендикулярна к красной прямой, то $a =tg∠BOA = 2.$ Значит, ответ к задаче $a∈ (1;2)$

Ответ:

$(1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67588

Найдите все значения параметра $a,$ для каждого из которых найдётся значение параметра $b,$ при котором система уравнений

{ ax+ 2y− 3b= 0 (x2+ y2 − 9)(x2+y2− 12x+ 32)= 0

имеет ровно 4 решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что интересное мы видим? Правильно, во втором уравнении нет параметров! Поэтому давайте рассмотрим пока только его, возможно, получится что-то хорошее!

Подсказка 2

Да, это уравнение задаёт две окружности! Первая с центром (0;0) и радиусом 3, а вторая с центром (6;0) и радиусом 2. Так, а теперь, когда из второго уравнения мы получили всё что могли, нужно возвращаться к первому уравнению системы и думать, что делать с ним!

Подсказка 3

Конечно, поскольку окружности построены в осях X и Y, то из первого уравнения хочется выразить y и построить прямую! То есть, мы получим: y = -ax/2 + 3b/2. Изобразим эту прямую на графике, тогда в каком случае у нас будет 4 решения?

Подсказка 4

Верно, 4 решения будет тогда и только тогда, когда прямая пересекает каждую из двух окружностей! А какой случай полезно было бы рассмотреть, чтобы проще найти все значения параметра a?

Подсказка 5

Да, нужно провести общую внутреннюю касательную(мы говорим именно про внутреннюю касательную, потому что только в этом случае окружности будут лежать по разные стороны от прямой)! Поскольку b отвечает только за параллельный перенос прямой, то мы делаем вывод: чтобы система могла иметь 4 решения, угловой коэффициент получившейся прямой должен быть по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей касательной! А как найти угловой коэффициент внутренней касательной?

Подсказка 6

Да, перенесем нашу касательную в начало координат! Тогда у образовавшегося прямоугольного треугольника мы знаем гипотенузу и катет, то есть легко можем найти второй катет! А дальше вспомним, что коэффициент наклона – это тангенс угла! Осталось найти тангенс и понять, когда |-a/2| меньше чем этот тангенс!

Показать ответ и решение

Второе уравнение системы равносильно совокупности

[ x2+y2− 9= 0 2 2 x +y − 12x+32 =0

[ x2+y2 = 9 (x − 6)2+y2 = 4

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности $Ω$ и $ω$ — с центрами в точках $O(0;0)$ и $Q(6;0)$ и радиусами $3$ и $2$ соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

ax +2y− 3b= 0

y =− ax+ 3b 2 2

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом $k= − a. 2$ При фиксированном значении $a$ — т.е. при фиксированном угле наклона — и при $b∈ ℝ$ получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом $k= − a. 2$

Чтобы система имела ровно $4$ решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра $b$ можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную $AB$ к окружностям (пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с $Ω$ и $ω$ соответственно). Пусть $l$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $O;$ пусть также $l∩QB = H,$ $∠HOQ = φ$ ( $OH ∥AB,$ поэтому $φ$ — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

HQ = HB + BQ = OA+ BQ = 3+ 2=5,

а также $OQ = 6,$ то из прямоугольного $△HOQ$ имеем

∘ --------- √-- OH = OQ2− HQ2 = 11

Значит,

HQ- -5- tgφ = OH = √11

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем $tgφ,$ откуда

|| a|| -5- |− 2|< √11

( 10 10) a ∈ − √11;√11

Ответ:

$(−√10;√10-) 11 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31979

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

1 ||1 || 2ax+||x +2||= 2a

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте оставим модуль слева, а все остальное перенесем в правую часть уравнения и рассмотрим графики отдельно каждой части. Постройте их и посмотрите, когда у них есть хотя бы одна общая точка

Подсказка 2

Да, у нас есть гипербола с отражением и пучок прямых. Подумайте о том, будут ли прямые пересекать гиперболу при положительных, отрицательных а и при а равном 0!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два графика $y = ||2+ 1|| x$ — гипербола с отражением, а также $y = − ax+ 2a 2$ — пучок, проходящий через точку $(4,0)$ .

$PIC$

Заметим, что при $a <0$ прямые будут пересекать асимптоту $y = 2$ гиперболы, потому пересекут и саму гиперболу. Если же $a≥ 0$ , то общая точка у прямых будет с отражённой частью гиперболы. То есть решение существует при любом $a.$

Ответ:

$a ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31986

Найдите, при каких значениях параметра $a$ для любого действительного $b$ найдется такое число $c$ , что система

{ bx− y = ac2; (b− 6)x+ 2by =c+ 1

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Параметры это фиксированные числа, а решениями системы являются пары $(x,y)$ . Оба уравнения системы на плоскости $xOy$ задают прямые (при $b= 0$ первое уравнение даёт горизонтальную прямую $2 y = ac$ , а второе — вертикальную $c+1 x= −6$ ; при $b= 6$ второе уравнение даст горизонтальную прямую; при других значениях это две наклонные). Прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельны (в последнем случае у системы решений не будет). Заметим, что параметр $b$ входит только в коэффициенты перед $x$ и $y$ , то есть регулирует угол наклона. Параметры же $a$ и $c$ отвечают за параллельный перенос (сдвиг) прямых.

Если число $b$ такое, что прямые пересекаются, то решение гарантированно будет. По условию же нужно, чтобы решение существовало при любых $b$ . Рассмотрим такие $b$ , при которых прямые параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны:

6− b b= -2b-

b=− 2,b= 3 2

Нужно подобрать такие значения $a$ , чтобы в том числе при таких $b$ прямые пересекались. А при найденных двух значениях $b$ они могут только совпадать. Проверим, когда это происходит:

В первом случае

{ −2x− y = ac2 2 1- −8x− 4y = c+1 =⇒ ∃c: 4ac − c− 1= 0⇐⇒ a= 0 или 1+ 16a≥ 0⇐⇒ a ≥− 16

Во втором

{ 3∕2⋅x− y =ac2 1 −9∕2⋅x+ 3y = c+1 =⇒ ∃c: 3ac2 +c+ 1= 0⇐ ⇒ a= 0 или 1− 12a≥ 0⇐⇒ a ≤12

Ответ:

$[−1∕16,1∕12]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85349

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Построим график функции, соответствующей первому уравнению, он без параметра, никуда не двигается. А вторая функция может задавать любую прямую.

Подсказка 2

Прямая может пересекать галочку в бесконечном числе точек, только если прямая совпадает с одной из “половинок” этой галочки. Осталось всего лишь выписать уравнения прямых, соответствующих двум половинкам галочки и выразить оттуда k и а.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90848

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

|ln |x||= ax

имеет три решения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай $a >0$ . Так как $0≤ |ln|x||=ax$ , то и $x> 0$ и поэтому $|x|= x$ . Построим график функции $y = |lnx|$ . Прямая $y =ax$ должна пересекать этот график в трех точках.

$PIC$

На рисунке видно, что это выполняется тогда и только тогда, когда прямая проходит внутри угла, образованного осью абсцисс и касательной $y = a0x$ к графику функции $y = lnx$ при $x> 1$ .

Найдем $a0$ . Абсцисса точки касания удовлетворяет уравнениям

a0x =lnx,a0 = 1, x

откуда $a0 = 1 e$ , $x =e$ . Таким образом, $0 <a < 1 e$ .

Случай $a< 0$ симметричен, то есть $− 1< a< 0 e$ .

Ответ:

$(− 1;0)∪ (0;1) e e$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79188

На координатной плоскости даны точки $A(2;−3)$ и $B(4;0).$ При каких значениях параметра $p,p> −5$ , ближайшая к графику функции $√ -3 y = x +p$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB?$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо понять, а почему вообще наша прямая не имеет пересечения на отрезке с нашим графиком (то есть что прямая, которая касается графика не правее нашей), ведь иначе наименьшее расстояние было бы нулевым.

Подсказка 3

Найдите, на какой прямой лежит отрезок AB. При этом ближайшая к графику точка отрезка - это перпендикуляр из точки, в которой параллельная данной прямая касается нашего графика. Значит, надо записать условия касания и понять в какой точке оно происходит.

Подсказка 3

Выходит, что касание происходит в точке x = 1. Теперь, когда мы все нашли, остается понять, какие требования нам нужны, чтобы этот перпендикуляр падал не просто на прямую, а именно на отрезок AB? Что для этого требуется?

Подсказка 4

Чтобы p было таким, что, перпендикуляр падает между точек конца отрезка. Можно найти значения p, когда перпендикуляр попадает на концы отрезка. А все промежуточные p тоже будут подходить.

Показать ответ и решение

Для начала поймем, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ , задаётся уравнением $y = 3x− 6, 2$ а на области определения функция $√ -3 y = x +p$ не пересекается с $AB$ при $p >− 5,$ потому что минимальное значение разности $√-3 3 t(x)= x + p− (2x − 6)$ достигается при $3√ - 3 2 x− 2 = 0 =⇒ x= 1$ и равно $3 1 1 1+ p− 2 + 6= 2 + (p+5)≥ 2 >0.$

Расстояние от точки на графике до прямой $AB$ это перпендикуляр на прямую $AB.$ Прямые, перпендикулярные $3 y = 2x− 6$ задаются уравнением $2 y =− 3x+ q, q ∈ℝ,$ они параллельны между собой, а наименьшее расстояние достигается при наименьшей длине отрезка такого перпендикуляра — в точке $x0$ касания графика $√ -3 y = x +p$ с прямой, параллельной $3 y = 2x − 6.$ Запишем условие касания функций: