Графика. Гипербола

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

Первая скобка равна нулю, если

Вторая скобка равна нулю, если Переход с делением равносильный, так как не обращает уравнение в тождество.

Первое уравнение задает полуокружность с центром в точке , а второе - гиперболу с двумя асимптотами и (см. рисунок ниже). К тому же не стоит забывать про ОДЗ: .

В итоге получаем, что исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда прямая пересекает полуокружность и гиперболу ровно в двух точках в полосе . Из графика видно, что возможны три случая: прямая касается полуокружности (то есть проходит через точку ; прямая проходит через одну из точек пересечения полуокружности с гиперболой (то есть через точку или ; прямая лежит строго выше прямой проходящей через точку и не строго ниже прямой . Рассмотрим все эти три случая I) Найдем ординату точки :

II) Найдем ординату точек и :

Раскладываем первое уравнение на множители или решаем как биквадратное

III) Найдем ординату точки : . Итак, получаем такие значения параметра