Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
, при которых система
Подсказка 1
Для начала построим график первого уравнения: оно не зависит от параметра а. Заметим, что график этот симметричен относительно обеих координатных осей, это можно использовать при его построении!
Подсказка 2
Второе уравнение включает в себя х² и у² и не включает перекрёстных слагаемых, это наводит на мысль о том, что надо попытаться получить из него уравнение окружности!
Подсказка 3
Пункт (а). Нужно получить нечётное число решений, а построение симметрично относительно оси у. Как тогда должна располагаться окружность?
Подсказка 4
Пункт (б). Если предположить, что окружность пересекает нижний "уголок", то и верхний она тоже пересекает и решений уже больше двух. Поэтому подходящие значения а нужно искать в том диапазоне, когда окружность пересекается только с верхним "уголком"!
Заметим, что первое уравнение при замене 
на 
или 
на 
не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен
относительно обеих координатных осей. При 
и 
это уравнение имеет вид 
— луч с началом в точке 
и
угловым коэффициентом 
Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке 
и с
вершиной в точке 
и угловыми коэффициентами лучей 
Во втором уравнении выделим полный квадрат 
Тогда это уравнение можно записать так:
Оно задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
(в случае 
— это точка 
).
(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси 
Тогда три решения возможны только в том
случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку 
или отрезку 
Так как 
и 
то получаем 
или 
Видно, что при этих 
есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке 
поэтому любое 
или 
подходит.
(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной 
или имеет радиус, больший 
но меньший 
Мы уже знаем 
и 
так что осталось найти этот радиус (обозначим его 
). Для этого опустим перпендикуляр 
на сторону
угла с вершиной в точке 
Пусть 
— угол наклона прямой 
(
Тогда 
Так как
то 
По теореме Пифагора для 
получаем 
Тогда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
