Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
, при которых система
имеет ровно три различных решения.
Подсказка 1!
Итак, второе уравнение с x^2 и y^2 имеет большие шансы на становление уравнением окружности! Давайте попробуем переписать его в таком виде. На этом моменте полезно понять, что за объекты (графики) у вас даны в задаче и порисовать первое и второе уравнение. Пытаемся понять, что от нас хотят в условии.
Подсказка 2!
Ага, вывели уравнение окружности. Заметим, что наше уравнение симметрично, относительно замены х-1 на 1-х! Подставим тогда х = 1...
Подсказка 3!
Получаем, что (1, 1) - всегда решение! Попробуем снова порисовать графики и понять, что на некотором отрезке это будет единственное решение. Для этого оценим у через первое уравнение. Попробуем его оттуда выразить.
Подсказка 4!
Да, попробуем доказать, что на отрезке [0,2] это единственное решение. Тогда надо найти еще 2 где-то вне отрезка! Мы уже поняли основную идею, осталость аккуратно записать условия в системы и решить!)
Второе уравнение можно переписать как 
, это уравнение окружности с центром в 
и
радиусом 
.
Уравнение симметрично относительно замены 
на 
, а при подстановке 
в систему обнаруживаем, что пара 
является решением системы при любых значениях параметра.
Нарисуем графики наших уравнений при разных 
.
Заметим, что 
, поэтому если 
, то
и решение у системы только 
Других решений, кроме 
на отрезке ![[0,2]](/api/latex-service/v1/GetSession/75767/index-24c73b7f75d3bff36b4210a5856ac720.svg)
для 
не может быть, так как в таком случае 
и опять
.
Значит, есть по одному решению при 
и при 
(из симметрии). То есть система
должна иметь одно решение.
Заметим, что при 
эта система имеет одно решение только тогда, когда окружность касается прямой. Иначе если точек
пересечений больше одной, то для обеих верно, что 
, так как 
и поэтому 
.
Окружность касается прямой, если они пересекаются в одной точке, так что уравнение 
имеет одно решение относительно 
. Дискриминант этого уравнения равен нулю при 
.
С учётом 
остаётся 
Это значение 
подходит под предыдущие условия и при 
у системы получится тоже одно
решение по симметрии.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
