Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра 
для каждого из которых найдётся значение параметра 
при котором система уравнений
имеет ровно 4 решения.
Подсказка 1
А что интересное мы видим? Правильно, во втором уравнении нет параметров! Поэтому давайте рассмотрим пока только его, возможно, получится что-то хорошее!
Подсказка 2
Да, это уравнение задаёт две окружности! Первая с центром (0;0) и радиусом 3, а вторая с центром (6;0) и радиусом 2. Так, а теперь, когда из второго уравнения мы получили всё что могли, нужно возвращаться к первому уравнению системы и думать, что делать с ним!
Подсказка 3
Конечно, поскольку окружности построены в осях X и Y, то из первого уравнения хочется выразить y и построить прямую! То есть, мы получим: y = -ax/2 + 3b/2. Изобразим эту прямую на графике, тогда в каком случае у нас будет 4 решения?
Подсказка 4
Верно, 4 решения будет тогда и только тогда, когда прямая пересекает каждую из двух окружностей! А какой случай полезно было бы рассмотреть, чтобы проще найти все значения параметра a?
Подсказка 5
Да, нужно провести общую внутреннюю касательную(мы говорим именно про внутреннюю касательную, потому что только в этом случае окружности будут лежать по разные стороны от прямой)! Поскольку b отвечает только за параллельный перенос прямой, то мы делаем вывод: чтобы система могла иметь 4 решения, угловой коэффициент получившейся прямой должен быть по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей касательной! А как найти угловой коэффициент внутренней касательной?
Подсказка 6
Да, перенесем нашу касательную в начало координат! Тогда у образовавшегося прямоугольного треугольника мы знаем гипотенузу и катет, то есть легко можем найти второй катет! А дальше вспомним, что коэффициент наклона – это тангенс угла! Осталось найти тангенс и понять, когда |-a/2| меньше чем этот тангенс!
Второе уравнение системы равносильно совокупности
Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности 
и 
— с центрами в точках 
и 
и радиусами 
и 
соответственно.
Теперь рассмотрим первое уравнение системы:
Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом 
При фиксированном значении 
— т.е. при фиксированном угле
наклона — и при 
получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом 
Чтобы система имела ровно 
решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и
только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух
данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра 
можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из
окружностей дважды).
Проведём общую внутреннюю касательную 
к окружностям (пусть 
и 
— точки касания этой прямой с 
и 
соответственно). Пусть 
— прямая, параллельная 
и проходящая через точку 
пусть также 
(
поэтому 
— угол наклона общей внутренней касательной). Так как
а также 
то из прямоугольного 
имеем
Значит,
С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем 
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
